LATAM Revista Latinoamericana de Ciencias Sociales y Humanidades, Asunción, Paraguay.
ISSN en línea: 2789-3855, noviembre, 2024, Volumen V, Número 5 p 4498.
DOI: https://doi.org/10.56712/latam.v5i5.2938
Integración del pensamiento computacional: Diseño de
artefactos por profesores de bachillerato para resolver
tareas matemáticas
Integrating computational thinking: Artifacts design by high school
teachers to solve mathematical tasks
Fernando Mejía Rodríguez
fernando.mejia@isceem.edu.mx
https://orcid.org/0000-0001-8795-0161
Instituto Superior de Ciencias de la Educación del Estado de México
Toluca – México
Alicia Dávila Gutiérrez
alicia.davila@isceem.edu.mx
https://orcid.org/0000-0001-6591-0468
Instituto Superior de Ciencias de la Educación del Estado de México
Toluca – México
María de los Ángeles Barrios Mendoza
angeles.barrios@isceem.edu.mx
https://orcid.org/0009-0008-7855-7630
Instituto Superior de Ciencias de la Educación del Estado de México
Toluca – México
Artículo recibido: 24 de octubre de 2024. Aceptado para publicación: 06 de noviembre de 2024.
Conflictos de Interés: Ninguno que declarar.
Resumen
El objetivo de este artículo es ilustrar el papel del pensamiento computacional en el diseño de
artefactos por cuatro profesores de bachillerato para resolver tareas matemáticas, tanto con el uso
de aplicaciones como de forma tradicional con lápiz y papel. Consideramos llevar un enfoque más
instrumental al contexto de la enseñanza de las matemáticas en un ambiente rico en tecnología; es
decir, a partir de una tarea, se implementaron varios artefactos y al mismo tiempo que se aprende
matemáticas, se mejora el pensamiento computacional de los profesores. El diseño metodológico fue
el estudio de caso (cualitativo), el instrumento aplicado fue la entrevista basada en artefactos y se
realizó un análisis temático. Se propone un modelo que explica cómo diseñar artefactos para resolver
tareas matemáticas en cinco pasos: enfrentar una tarea, investigar la parte matemática y matematizar,
diseñar un artefacto e investigar la parte de las aplicaciones, verificarlo, y ampliar la tarea; y en tres
ciclos: diseño, desarrollo y refinación.
Palabras clave: pensamiento computacional, artefacto, instrumento, profesor, tarea
Abstract
This paper’s aim is to illustrate the role of computational thinking in the design of artifacts by four high
school teachers to solve mathematical tasks, with the use of apps and the traditional way with pencil
and paper. We considered bringing a more instrumental approach to the context of teaching
mathematics in a technology-rich environment; so as, from a task, several artifacts were implemented
and while mathematics is learned, the teachers' computational thinking is improved. The
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methodological design was the case study (qualitative), the instrument applied was the interview
based on artifacts and a thematic analysis was carried out. A model is proposed that explains how to
design artifacts to solve mathematical tasks in five steps: face a task, investigate the mathematical
part and mathematize, design an artifact and investigate the apps’ part, verify it, and expand the task;
and in three cycles: design, development and refinement.
Keywords: computational thinking, artifact, instrument, teacher, task
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Cómo citar: Mejía Rodríguez, F., Dávila Gutiérrez, A., & Barrios Mendoza, M. de los Ángeles. (2024).
Integración del pensamiento computacional: Diseño de artefactos por profesores de bachillerato para
resolver tareas matemáticas. LATAM Revista Latinoamericana de Ciencias Sociales y Humanidades 5
(5), 4498 – 4519. https://doi.org/10.56712/latam.v5i5.2938
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INTRODUCCIÓN
La pandemia del 2019 nos hizo reflexionar en lo educativo basado en la tecnología, esto debido a la
experiencia que tuvimos con la enseñanza a distancia. Derivado de este interés, nos dimos a la tarea
de analizar las investigaciones que abordan tanto la educación matemática como la tecnología, siendo
las siguientes investigaciones las más relevantes. Bakker et al. (2023), aplicaron una encuesta, antes
y durante la pandemia en 44 países, sobre las temáticas en las cuales debieran centrarse las
investigaciones en educación matemática para la siguiente década, como resultado se obtuvieron
ocho temas de mayor importancia, el número cinco refiere a la tecnología; la cual tiene un papel clave
porque se relaciona con otras temáticas.
El marco de Programme for International Student Assessment (PISA – Programa para la Evaluación
Internacional de Estudiantes) para matemáticas considera que, dado el aumento en las herramientas
computacionales aplicables a la vida diaria, podría promover en los estudiantes de 15 años algunas
habilidades como: “reconocimiento de patrones, diseño y uso de abstracciones, descomposición de
patrones, determinación de qué herramientas informáticas (si las hay) podrían emplearse para analizar
o resolver un problema y definir algoritmos como parte de una solución detallada” (OCDE, 2023, p. 20).
En México se tiene el registro de los estados del conocimiento de la investigación en educación
matemática del 2012 al 2021 y se organizaron en cinco líneas temáticas, la cuarta se encarga del papel
de las tecnologías en los procesos educativos dentro de los saberes específicos de la matemática
(Palmas Pérez, 2024).
Dada la importancia de la tecnología, consultamos la enciclopedia de la educación matemática
(Lerman, 2020) considera tres temas: el diseño tecnológico, que se enfoca a crear tareas para la
enseñanza de la matemática; los tipos de tecnología, que analiza las herramientas para aprender la
matemática como el ábaco o la computadora; y el pensamiento algorítmico, que ve a la tecnología más
allá del uso de herramientas para aprender o enseñar las matemáticas, la asocia a una nueva forma de
alfabetización.
El profesor de matemáticas en la era digital (Clark-Wilson et al., 2022) es un libro que documenta el
impacto de la pandemia del coronavirus y subraya el papel del profesor con una mayor atención a la
tecnología educativa que sirve de mediadora en la enseñanza y aprendizaje. Encontramos una reseña
de dicho libro que resalta “la necesidad de una formación docente continua centrada en el
enriquecimiento de los saberes docentes con conocimiento especializado que contribuya al desarrollo
de escenarios pedagógicos potenciados con tecnología digital” (Castañeda, 2023, p. 279).
Para Grover (2018) los ciudadanos del siglo XXI deben tener cinco habilidades: pensamiento crítico,
creatividad, colaboración, comunicación y pensamiento computacional (PC), entendiendo a este último
como los procesos ejecutados por una máquina o una persona que tome ventaja de las cosas que
hacen mejor las personas que las máquinas y las cosas que hacen mejor las máquinas que las
personas, para diseñar sistemas o resolver problemas que una sola persona no podría o quisiera hacer
(Wing, 2006).
Para que un profesor de cualquier asignatura pueda hacer una integración efectiva de la tecnología,
debe tener tres conocimientos: del contenido, de lo pedagógico y de lo tecnológico. El modelo
Technological Pedagogical Content Knowledge (Conocimiento del Contenido Pedagógico
Tecnológico) (TPACK) “enfatiza cómo las conexiones entre la comprensión de los contenidos, la
pedagogía y la tecnología de los profesores interactúan entre sí para producir una enseñanza eficaz”
(Koehler et al., 2014, p. 101).
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Schmid et al. (2024) realizaron una revisión de la literatura desde 2006 hasta el 2023 sobre
publicaciones del modelo TPACK y encontraron que ha crecido linealmente, que está la necesidad de
muchos profesores por integrar la tecnología en su enseñanza; pero también señalaron que hace falta
aclarar lo que se entiende por conocimiento y que sería de utilidad tener investigaciones por disciplinas
que puedan generar nuevos modelos.
Encontramos una investigación que reúne tres elementos: el modelo TPACK, las matemáticas y el PC
(Helsa et al., 2023). La cual presenta resultados favorables, ya que existe una relación del modelo
TPACK con las habilidades del PC de manera efectiva. El análisis de la información fue estadístico.
Encontramos aquí un nicho para realizar una investigación que cubra este vacío, buscar una explicación
que vincula el uso de la tecnología de forma efectiva con las habilidades del PC, además de los trabajos
matemáticos auténticos, con un diseño más interpretativo, que no busque generalidades sino
particularidades que permitan explicar el fenómeno en una situación más específica.
Coincidimos con Buteau et al. (2019) en llevar un enfoque instrumental al contexto de la enseñanza de
las matemáticas en un ambiente rico en tecnología; es decir, a partir de una actividad que tiene un
objetivo matemático, se implementa un artefacto y al mismo tiempo se aprende matemáticas y mejora
su PC. En este contexto se inscribe la presente investigación.
El objetivo de este artículo es ilustrar el papel del PC en el diseño de artefactos para cuatro profesores
de bachillerato para resolver tareas matemáticas. En el 2023, los profesores participaron en un taller
de 60 horas sobre el uso de la tecnología y la enseñanza de las matemáticas en bachillerato y se
resolvieron 40 tareas matemáticas con herramientas tradicionales, como lápiz y papel, así como con
herramientas digitales. Pensamos que la tecnología nos brinda artefactos para resolver ciertas
actividades en la enseñanza de las matemáticas, pero no sustituyen al libro de texto, tampoco al
profesor de matemáticas, mucho menos al conocimiento que deben aprender los estudiantes. Somos
conscientes de que la tecnología no es la temática más urgente para la educación matemática, pero
dada su practicidad en el día a día, estaríamos dejando pasar una oportunidad para aprovechar sus
bondades.
La presente investigación aporta un modelo que explica cómo diseñar artefactos para resolver tareas
matemáticas en cinco pasos: enfrentar una tarea, investigar la parte matemática y matematizar,
diseñar un artefacto e investigar la parte de las aplicaciones, verificarlo, y ampliar la tarea; y en tres
ciclos: diseño, desarrollo y refinación.
DESARROLLO
En este apartado desarrollamos dos asuntos teóricos, primero, el PC y dos de sus elementos, los
algoritmos y el lenguaje de programación; segundo, el modelo que involucra a una parte importante del
PC que es la programación, las fases para resolver una tarea, así como describir el enfoque
instrumental de cómo crear artefactos para aprender o hacer matemáticas.
Pensamiento computacional
El PC es una frase que ha crecido en el buscador de Google en la última década, “se está convirtiendo
cada vez más en parte de la conciencia dominante” (Grover, 2022, p. 18). Se concibe como una
habilidad para todos, no exclusiva para los científicos de la informática; es más, los niños desde edades
tempranas pueden desarrollarla (Wing, 2006).
Han existido experiencias con niños y el uso de computadoras, como el lenguaje LOGO que consistía
en darle instrucciones a una tortuga que realizaba trazos en la pantalla y creaba figuras geométricas.
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Papert (1971) consideraba a los niños como matemáticos jóvenes, apostó por utilizar la tecnología
para desarrollar el pensamiento matemático de los niños.
En carreras como científico de datos, ingeniero de software, actuario, matemático, profesor, entre otras,
la idea de no alimentar su formación con el PC parece cada vez más lejana. De esta forma, para el
creador de matemáticas no existe el PC “como un solo concepto aislado; los matemáticos usan una
variedad de modos de pensamiento, no solo uno” (Knuth, 1981, p. 96).
El PC está alineado con la perspectiva de la resolución de problemas, donde los problemas pueden ser
situaciones de la vida real (Lee et al., 2023). Una ventaja más de tener el PC y la resolución de
problemas es que se puede buscar la generalización del proceso utilizado para resolver un problema
específico, pero se puede aprovechar el poder del cálculo para abarcar más casos (Barr et al., 2011).
Uno de los objetivos de la ciencia es comprender el mundo real, para ello se generan modelos
matemáticos de una situación que requieren una serie de pasos para realizar cálculos y repetirlos
varias veces hasta encontrar una solución para satisfacer la situación inicial planteada (Mailund, 2021).
Dicha situación puede descomponerse en situaciones menos complejas y llegar a soluciones parciales
(Papert, 1971, p. 23). Este es el camino de la ciencia, intentar comprender una situación real, construir
un modelo matemático, resolverlo en partes y juntarlas hasta abarcar la situación completa.
Después de tener el panorama general del PC pasamos a las definiciones. El primero en exponer esta
frase fue Papert (1996), quien la definió como una forma de forjar ideas y usar computadoras para
resolver problemas, lo que permitió a las personas analizar mejor los problemas y explicar las
soluciones con mayor precisión. Existe una alta correlación entre el PC y la capacidad de resolución de
problemas (Shen et al., 2020).
El PC “es pensar de forma recursiva. Es un procesamiento paralelo. Se está interpretando el código
como datos y los datos como código” (Wing, 2006, p. 33). “Utiliza el razonamiento heurístico para
descubrir una solución. Es planificar, aprender y programar en presencia de incertidumbre" (Wing, 2006,
p. 34).
Al mismo tiempo, el PC “comparte con el pensamiento matemático las formas generales en que
podemos abordar la resolución de un problema. […] Comparte con el pensamiento científico las formas
generales en que podríamos abordar la comprensión de la computabilidad, la inteligencia" (Wing, 2008,
p. 3717).
El PC implica una serie de subhabilidades: “descomposición de problemas complejos en problemas
familiares (descomposición de problemas), desarrollo de soluciones algorítmicas para los problemas
(algoritmos) y captura de la simplicidad fundamental de un problema para desarrollar heurísticas
rápidas que podrían conducir a una solución (abstracción)” (Yadav, Gretter, et al., 2017, p. 206).
Otras subhabilidades son: recopilación, análisis y representación de datos; automatización, que
consiste en ejecutar algoritmos de forma automática; paralelización, que es llevar a cabo dos o más
procesos al mismo tiempo; y simulación, que a través de un modelo analiza un sistema para imitarlo
en un entorno controlado (Mouza, et al., 2017).
El PC es una habilidad “de pensamiento analítico que se basa en conceptos de la informática, pero es
una habilidad fundamental utilizada y útil para todas las personas” (Yadav, Stephenson, et al., 2017, p.
56). El PC se puede desarrollar “en varios contextos de aprendizaje, tanto en aulas de las ciencias de
la computación como en las que no lo son. Se puede enseñar a través de varios enfoques pedagógicos”
(Grover, 2022, p. 22).
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Para esta investigación, entendemos al PC como una habilidad para resolver problemas que tiene
subhabilidades como: transformar un problema en otros pequeños; soluciones algorítmicas, enlistar
una serie de pasos y acciones para un objetivo específico; y modelos para la vida real, que permitan
traducir una situación real en lenguaje matemático o que permita identificar los cambios de algunas
variables para modificar otras.
Para adentrarnos en el PC es necesario explicar algunos elementos que son parte de él como
algoritmos y lenguaje de programación. Un algoritmo es “una descripción de cómo resolver un
problema [que] debe ser lo suficientemente detallada como para que podamos seguirla sin tener que
involucrar conjeturas” (Mailund, 2021, p. 5). Un algoritmo es “una abstracción de un procedimiento
paso a paso para tomar datos y producir el resultado deseado" (Wing, 2008, p. 3718).
Crear algoritmos no es únicamente una habilidad científica, sino artística. “Hay pautas generales que
podemos usar para abordar un problema computacional para desarrollar algoritmos y enfoques
generales para organizar datos de manera que podamos manipularlos de manera eficiente” (Mailund,
2021, p. 5).
Después de tener el algoritmo adecuado para resolver un problema, tenemos que poder expresarlo en
un lenguaje que entienda la computadora, “y luego cómo desarrollar los detalles que el algoritmo no
especifica. Para elegir el lenguaje de programación, una vez más tiene numerosas opciones, todas con
diferentes fortalezas y debilidades” (Mailund, 2021, p. 9). Es importante mencionar que un lenguaje de
programación es “una abstracción de un conjunto de cadenas de palabras, cada una de las cuales,
cuando se interpreta, produce algún cálculo" (Wing, 2008, p. 3718).
El PC va más allá de escribir algoritmos en un lenguaje de programación, ve al estudiante como creador
y no como consumidor de conocimiento, porque considera que las matemáticas son “un proceso de
participación a través del cual el estudiante gradualmente gana membresía en una comunidad (de
matemáticos)” (Buteau, et al., 2018, p. 1174). En la misma lógica, “ser un matemático, como ser un
poeta, un compositor o un ingeniero, significa hacer matemáticas, más que conocerlas o
comprenderlas” (Papert, 1971, p. 1).
Procesos de desarrollo en una aplicación matemática
Buteau, et al. (2019) desarrollaron un modelo (Figura 1) para explicar cómo participan los estudiantes
de matemáticas y los futuros profesores de matemáticas en un trabajo de proyecto de investigación
matemática basado en programación (pura o aplicada). Retomaron ocho elementos como las tres
dimensiones del PC (Brennan & Resnick, 2012): (1) conceptos computacionales, propios de la
informática como bucles, paralelismo, etc.; (2) prácticas computacionales, probar proyectos y
mejorarlos; y (3) perspectivas computacionales, las visiones del mundo; y las cinco fases para
desarrollar un proyecto de investigación (Broley, 2015): (i) elección de un problema matemático, (ii)
creación de un programa computacional, (iii) exploración matemática, (iv) evaluación y
(v)comunicación de resultados.
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Figura 1
Modelo del proceso de desarrollo de un estudiante que participa en la programación de una investigación
o aplicación matemática
Una persona puede plantear una conjetura matemática o elegir una situación real (paso 1), delimitar
un problema matemático (paso 2) o seleccionar, delimitar y matematizar una situación del mundo real
(paso 2*) mientras busca un tema de investigación. Después diseñar y programar un objeto
matemático (paso 3), que es un programa interactivo orientado a la investigación matemática con el
que se logre pensar (Papert, 1980).
No siempre se logra el diseño del objeto a la primera, por lo que es conveniente requerir una mayor
investigación del tema o de los procedimientos de programación (paso 3*), pero que inevitablemente
implica un ciclo de depuración centrado en torno a la verificación y validación (paso 4) del código
(matemático) del objeto.
La investigación está en curso con la utilización del objeto y pueden sufrir modificaciones y
refinamientos adicionales, tanto la investigación, como el mismo objeto con el que se logre pensar
(paso 5). De los hallazgos en la investigación matemática, el conocimiento de la persona se ajusta
(paso 6) y comunica los resultados (paso 7).
Una distinción entre el proceso de los estudiantes de matemáticas y el proceso de los futuros
profesores de matemáticas que vale la pena señalar es el punto de partida del compromiso: los
primeros pueden comenzar una nueva dirección de investigación como resultado del uso del programa
de otra persona, mientras que los segundos completan el trabajo y esperan a que se les imponga un
tema para iniciar en el paso 1 o 2 del modelo.
El ciclo de diseño consiste en pasar de uno de los dos elementos: una conjetura matemática o una
situación real, a la construcción de un objeto. Si es de una situación real será a través de la
matematización, de ser de una conjetura matemática pasa directo a la construcción del objeto. Se
investiga cómo escribir los cálculos o el flujo que debe seguir el objeto.
El ciclo de programación es un ir y venir entre el objeto y su código; es decir, una vez diseñado el objeto
se escriben algoritmos en un lenguaje de programación que pueda satisfacer las condiciones iniciales
y finales de la conjetura o de la situación real. Los programadores realizan varios intentos y pueden
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descomponer un programa en partes de él que pueden monitorear para ver si efectivamente obtienen
lo esperado.
El ciclo de refinación se da después de lograr el código del objeto. Se puede buscar un código más
pequeño (otro camino dentro de las matemáticas), uno más rápido (más abstracto dentro de las
matemáticas) o uno más eficiente (que gaste menos recursos de la computadora). También se analiza
si la matematización fue adecuada o se cambia. Se revisa si el código fue planteado de forma correcta
o puede mejorar. Finalmente se estudia al objeto para poder comprender y explicar la conjetura o la
situación real.
Por otro lado, el enfoque instrumental descansa en la teoría de la actividad (Vygotsky, 1978). Considera
que una persona involucrada en una actividad orientada por un objetivo puede interactuar con
artefactos (productos de la actividad humana). A través de dichas interacciones, la persona puede
desarrollar un instrumento, que comprende el artefacto o partes de él y un esquema de uso del
artefacto. Vergnaud (1998) lo puede describir como:
���������������������� = ������������������ (�� ������������ ���� �) + ��������������
Un esquema es una “Organización invariante de conducta para una determinada clase de situaciones”
(Vergnaud, 1998, p. 229); es decir, son un conjunto de actividades que realiza una persona para
alcanzar un objetivo dado. Tenemos esquemas para tomar algo con la mano, para sentarnos, para
caminar, para bailar, entre otros.
Podemos clarificar esto con un ejemplo, se plantea una situación definida por un objetivo de la
actividad de un alumno -resolver una ecuación cuadrática-. El alumno interactúa con artefactos para
lograr el objetivo -una calculadora-. A través de dicha actividad, el alumno desarrolla un esquema -de
uso de la calculadora- para su objetivo. Un esquema tiene cuatro componentes (Vergnaud, 1998): el
objetivo de la actividad; las reglas de operación; las invariantes operacionales, como las proposiciones
o conceptos relevantes; inferencias, ver cómo adaptar el esquema a la situación.
El PC también involucra la elaboración de artefactos, dicho pensamiento se utiliza para resolver
problemas de diferentes contextos (Grover, 2022). El artefacto es dado y el instrumento es construido
a través de algunas prácticas matemáticas, dicha génesis es un proceso complejo de dos procesos
conectados: una instrumentación dirigida hacia la persona y una instrumentalización enfocada hacia
el artefacto (Trouche, 2004).
En este mismo sentido, un artefacto no está listo para calcular, graficar, resolver problemas, enseñar o
aprender. Para realizar dichas actividades se requiere por parte de la persona apropiarse del artefacto,
para ello se pone en él, parte de uno mismo; es decir, hace falta lograr cierta personalización del
artefacto a nuestras necesidades (Trouche & Drijvers, 2010).
La instrumentalización tiene tres etapas: una de descubrimiento, donde se busca tener una selección
de las funciones relevantes; una de personalización, donde se adapta el artefacto a la persona; y una
de transformación del artefacto, en ocasiones en caminos no contemplados por el diseñador (Trouche,
2004)
Para terminar este apartado, explicamos las cuatro etapas de la génesis instrumental de Buteau, et al.
(2020) para la organización compleja de esquemas relacionados al uso de la programación para una
investigación matemática auténtica: (1) Iniciación, el objetivo del profesor es que los alumnos
aprendan a usar el software; (2) Exploración, el profesor les pide a los alumnos que inspeccionen el
software con tareas matemáticas; (3) Reforzamiento, los alumnos ya saben utilizar el software pero
tienen dificultades al realizar las tareas matemáticas, el profesor les brinda información sobre su
conocimiento matemático; (4) Simbiosis, los alumnos dominan el conocimiento instrumental del
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software y mejoran su conocimiento matemático, de tal suerte, que pueden resolver problemas con el
software o sin él.
METODOLOGÍA
El paradigma en el que se inscribe la presente investigación es el constructivismo con enfoque
cualitativo (Creswell & Creswell, 2018) y el diseño metodológico es estudio de caso (Yin, 2018). Se
busca explorar y describir el PC de un grupo de profesores que enseñan matemáticas en bachillerato
que participaron en un taller en el 2023 resolviendo tareas matemáticas, para resolver dichas tareas
tuvieron que construir artefactos que evolucionaron en instrumentos de la mano de la tecnología. Con
esta investigación no se busca proporcionar una receta que se puede repetir en otros contextos y
tampoco queremos decir que la tecnología es el único camino para mejorar la educación matemática
en bachillerato.
Estudio de caso
Elegimos el estudio de caso porque deseamos “comprender un caso del mundo real y suponer que
dicha comprensión probablemente involucre condiciones contextuales importantes pertinentes a ese
caso” (Yin, 2018, p. 45). Un caso podría formarse por un alumno, un profesor, el grupo de una escuela,
la escuela, una zona escolar, una reforma, entre otras opciones.
Para esta investigación el caso consistió en un grupo de profesores que tomaron un taller de 60 horas
en el 2023 con dos temas puntuales: el uso de la tecnología para resolver problemas y la enseñanza
de las matemáticas en bachillerato. En total, 40 tareas matemáticas se plantearon a los profesores y
las resolvieron por dos vías, la tradicional con lápiz y papel, y otra de la mano de la tecnología con el
diseño de artefactos.
Las aplicaciones que se utilizaron en el taller fueron Excel, Chat GPT, Colaboratory, Geogebra,
Goodnotes, Netlogo, Photomath, Python y Wolframalpha. Los dispositivos en donde ocurrieron dichas
aplicaciones fueron en computadoras portátiles con Windows, iPad con iPadOS, teléfonos inteligentes
con Android y iOS.
El grupo de profesores estuvo conformado por dos mujeres y dos hombres. Para respetar la
información personal de los participantes utilizamos pseudónimos: Perla tenía tres años de servicio
como profesora, Mónica dieciocho, Luis dos y Carlos doce. Se eligieron dos docentes con poca
experiencia y dos con más años de servicio en la docencia, para poder observar tanto jóvenes
profesores que saben utilizar la tecnología y profesores con experiencia para resolver problemas que,
juntos nos podrían dar un panorama más general de lo que podría tener cada escuela en la actualidad.
Entrevista basada en artefactos
Como técnica para recabar la información utilizamos la entrevista basada en artefactos (Brennan &
Resnick, 2012). Las preguntas aplicadas fueron pensadas en dos ámbitos: el primero, en la resolución
de problemas como los pasos de la figura 1, cómo pasó de la tarea al lenguaje matemático, qué plan
pensó para resolverla, qué intentos elaboró y cómo se percató de que llegó a la solución, entre otros;
el segundo, en la construcción del artefacto o instrumento, qué aplicación pensó que le ayudaría a
resolver la tarea, cómo funciona la aplicación, qué interacción tuvo con la aplicación, cómo diseñó el
artefacto, entre otras.
Si consideramos que “un problema es una tarea para la cual una persona no sabe (inmediatamente)
qué hacer para obtener una respuesta” (Lester, 2013, p. 247). Además, “Para que los estudiantes
mejoren su capacidad para resolver problemas matemáticos, deben trabajar en tareas problemáticas
de manera regular, durante un período de tiempo prolongado” (Lester, 2013, p. 272).
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Retomando la sugerencia de dedicarle un tiempo prolongado a una tarea, decidimos plantear tareas
que cumplieran con cuatro aspectos: que pudieran ser resueltas por diferentes caminos para llegar al
mismo resultado, que se pudiera dividir en problemas menos abstractos, que se resolviera tanto de
forma tradicional como con la ayuda de la tecnología y que pudieran invertir un tiempo considerable
para resolverla.
Creamos 40 tareas con los cuatro aspectos. Debido al poco espacio para analizarlas, decidimos a
manera de ejemplo mostrar una de ellas:
El primer término de una serie aritmética es 10, el sexto término es 7. ¿En qué término la sumatoria es
igual a 84?
Una vez reunida la información con la entrevista basada en artefactos, se realizó un análisis temático
(Saldaña, 2016). Que consitió en pasar de los datos de las transcripciones de las entrevistas a códigos,
de los grupos de codigos a categorías. Un código es una etiqueta que representa la idea de un
fragmento de texto de una transcripción de entrevista. Las categorías son grupos de códigos que
tienen elementos en común y logran explicar algún tema en particular.
RESULTADOS Y DISCUSIÓN
De los cuatro profesores se organizaron dos equipos, en cada equipo se seleccionó uno con poca
experiencia y otro con más experiencia en la docencia. Los equipos conformados quedaron integrados
por Perla y Carlos, con tres y doce años de servicio; y por Mónica y Luis, con dieciocho y dos años frente
a grupo. Se les solicitó resolver la tarea por dos caminos distintos.
Equipo de Perla y Carlos
Perla le preguntó al Chat GPT (figura 2) qué era una serie aritmética.
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Figura 2
Respuesta del Chat GPT sobre la definición de una serie aritmética
Carlos calculó la diferencia.
�� =
7 − 10
6 − 1
= −
3
5
Perla revisó que se cumpliera para las condiciones dadas.
10,
47
5
,
44
5
,
41
5
,
38
5
, 7, …
Perla intentó resolver la tarea con el Chat GPT, pero no llegó a un resultado lógico. La inteligencia
artificial de dicho chat todavía no puede resolver muchos problemas matemáticos. Esto no quiere decir
que las computadoras jamás lo logren, estamos presenciando adelantos tecnológicos cada vez más
grandes en poco tiempo.
Perla y Carlos decidieron escribir un algoritmo en Python (figura 3), primero que calculara los primeros
nueve términos de la serie aritmética con la diferencia de −3/5.
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Figura 3
Primer camino e intento de Perla y Carlos con Python
Se puede ver en las primeras ocho líneas el código escrito en lenguaje Python. La primera es para poder
trabajar con fracciones, la segunda es para guardar en �������������������� el valor de −
3
5
, la tercera es para
indicar que el primer ��ú�������� de la serie es el 10, el valor de �� guarda el número del término de la serie
que se inicia en 1 en la cuarta línea. En la quinta línea se solicita un bucle; es decir, se da la condición
que �� < 10 y se repetirán las líneas 6, 7 y 8 en ese orden las veces necesarias. Como �� vale 1 se imprime
en pantalla el valor de �� y enseguida el valor de ��ú��������, que es lo que se muestra debajo de la octava
línea 1 10. En la séptima línea se incrementa en una unidad el valor de �� y en la octava el valor de
��ú�������� + �������������������� se almacena en la variable ��ú��������. Cabe señalar que, a diferencia de las
matemáticas, en Python primero se realiza el cálculo del lado derecho del signo = y el valor de dicha
operación se guarda en la variable que está a la izquierda del signo =. Este proceso se repite ocho
veces más, las líneas 6, 7 y 8. Cuando �� = 10 se sale del bucle y se termina el algoritmo.
Perla y Carlos tienen confianza en que llevan un buen avance para terminar la tarea porque coinciden
sus cálculos con los arrojados por su algoritmo escrito en lenguaje de Python. Piensan en agregar una
variable �������� y que el valor de �� pueda llegar hasta 30. Se puede ver en la figura 4 que funcionó y ahora
el algoritmo arroja tres cantidades, ��, ��ú�������� y �������� en cada renglón.
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ISSN en línea: 2789-3855, noviembre, 2024, Volumen V, Número 5 p 4510.
Figura 4
Primer camino y segundo intento de Perla y Carlos con Python
Se puede ver una línea con los siguientes tres elementos: 21 − 2 84, que significa que cuando �� = 21,
el ��ú�������� = −2 y la �������� = 84 se resuelve la tarea, en el término 21 la sumatoria es 84.
Después de llegar al resultado intentaron de forma tradicional llegar al mismo resultado. Ahora lo
realizaron en el iPad de Carlos (figura 5). Primero escribieron todos los números como fracciones con
denominador 5, después calcularon las sumas de los numeradores y con el método de segundas
diferencias encontraron una expresión de segundo orden para encontrar dicha suma con respecto al
valor de ��. La expresión la igualaron con 420 que resultó de multiplicar 84 por 5. Encontraron dos
soluciones, una fracción y otra con un valor entero, la solución adecuada fue la de 21. Esta solución
coincide con el primer camino.
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Figura 5
Segundo camino de Perla y Carlos con iPad (forma tradicional)
Equipo de Mónica y Luis
Luis investigó en WolframAlpha (figura 6) qué es una serie aritmética.
Figura 6
Respuesta de WolframAlpha de qué es una serie aritmética
Mónica calculó la diferencia.
7 = 10 + (6 − 1)��
7 − 10
6 − 1
= ��
−3
5
= ��
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Mónica y Luis abrieron GeoGebra (figura 7), agregaron un deslizador �� que va desde 1 hasta 30 y
después escribieron la fórmula de la sumatoria de la figura 6 y almacenaron el resultado en la variable
�� (�� = ��������(10 + (�� − 1) (−
3
5
) , ��, 1, ��). Ubicaron el punto �� con coordenadas (��, ��) dejando un rastro.
Figura 7
Primer camino de Mónica y Luis con GeoGebra
Se puede ver en el deslizador cuando �� = 21, el valor de �� es de 84. Terminaron la tarea y llegaron al
mismo resultado que Perla y Carlos, pero no se quedaron con ese camino. Pensaron en realizarlo con
Excel (figura 8). Primero definieron que los valores de las celdas serían fracciones, después escribieron
en la celda ��1 el valor de 10, en la celda ��2 el valor de 47/5 que resulta de restarle a 10 el valor de 3/5,
el programa escribió el equivalente que es 9
2
5
. Después se seleccionaron las dos celdas ��1 y ��2, en la
esquina inferior derecha se colocó el puntero del ���������� y se arrastró hasta la celda ��30, Excel llenó
los números de la columna. En la columna �� se escribieron dos fórmulas, la de ��1 es =
��������($��$1: ��1) y la de ��2 es = ��������($��$1: ��2); posteriormente se realizó lo mismo con la columna
anterior, se seleccionaron dos celdas ��1 y ��2, se arrastró la esquina inferior derecha hasta la celda
��30. Se concluye que para el término 21 la sumatoria es 84, igual que en los dos caminos anteriores
se llegó al mismo resultado.
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Figura 8
Segundo camino de Mónica y Luis con Excel
En los cuatro caminos, los dos equipos; es decir, los cuatro profesores: Perla, Carlos, Mónica y Luis
llegaron al mismo resultado, término 21. Aplicaron ChatGPT, Colaboratory, Python, WolframAlpha,
GeoGebra, Excel y la forma tradicional. Sin importar el camino largo o corto llegaron al mismo resultado,
les sirvió esta metaestrategia de resolver una misma tarea con dos caminos y llegar al mismo punto.
De la figura 1 se apreciaron la mayoría de los elementos y se comparte un modelo muy parecido con
pequeños ajustes en la figura 9, abarcando más elementos tecnológicos no solamente la
programación. La ventaja de este modelo es que permite ampliar el uso de artefactos para resolver
problemas matemáticos, bajo cinco pasos y los mismos tres ciclos.
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Figura 9
Modelo de diseño de artefactos para resolver tareas matemáticas
En el paso 1 de la figura 9 una persona se encuentra frente a una tarea que puede ser un problema, un
ejercicio, un proyecto, una situación real o imaginaria que representa un reto cognitivo a ser resuelto
(tarea del apartado 3.2). En el paso 2 busca información sobre algún tema matemático que no tiene
presente (Perla indagó en el Chat GPT y Luis en WolframAlpha). Después de resolver las dudas sobre
el conocimiento de contenido, matematizaron la tarea en el paso 2*; es decir, llevaron del lenguaje
natural de la tarea al lenguaje matemático (encontraron la diferencia y calcularon los primeros términos
con GeoGebra, Excel, Python y forma tradicional). Para el paso 3 se diseñó un artefacto (un algoritmo
para escribir en lenguaje Python, una hoja de cálculo en Excel, una fórmula y un deslizador en GeoGebra
y una ecuación cuadrática en la forma tradicional). El paso 3* consistió en saber cómo hacer sumas y
usar fracciones en las aplicaciones (las dos primeras líneas de la figura 3 en Python, la función suma
y el deslizador en la figura 7 en GeoGebra, las celdas en fracciones y arrastrar para llenar celdas en la
figura 8 en Excel).
El paso 4 consiste en ver el avance para resolver la tarea, es tener resultados parciales para llegar a la
solución final (los primeros 9 términos en la figura 3 en Python, la lista de los primeros 29 términos con
su sumatoria en la figura 4 en Python, el deslizador con �� desde 1 hasta 30 en la figura 7 en GeoGebra,
las dos columnas con treinta renglones en la hoja de cálculo en la figura 8 en Excel, la sumatoria de los
numeradores en la figura 5 en la forma tradicional). El paso 4 también se verifica cuando por dos
caminos llegaron al mismo resultado (figuras 4 y 5, así como figuras 7 y 8). El paso 5 busca ampliar la
tarea o investigar más sobre ella (la línea 6 de la figura 4 en Python se modifica y se pueden buscar
más de 29 términos en Python, el deslizador se ajusta a un nuevo límite superior y se podrán calcular
más de 30 términos en la figura 7 en GeoGebra, arrastrar y llenar más celdas en la figura 8 en Excel,
igualar la ecuación cuadrática a un valor distinto de (84)(5) en la figura 5 en la forma tradicional).
El ciclo de diseño se concentra en modelar una tarea a lenguaje matemático atendiendo las dudas
matemáticas o de las aplicaciones. El ciclo de desarrollo parte del artefacto y revisa que cumpla con
las condiciones iniciales y finales de la tarea, aquí se pueden plantear problemas más sencillos de
resolver y la suma de ellos dará respuesta a la tarea compleja. El ciclo de refinación busca tener un
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proceso más: corto, rápido, didáctico o fácil de explicar, realizando ajustes en la parte matemática o
del artefacto.
Después de resolver varias tareas (modelo de la figura 9), podemos decir que el paso 5 motivará a que
los artefactos lleguen a ser instrumentos porque la persona que enfrenta las tareas en el paso 1 ya
tiene experiencia en el uso de artefactos, ya sabe cómo usarlos y ha construido varios; es decir, ha
logrado generar esquemas que le ayudan a decidir cuál aplicación utilizar, cómo usarla con cierta
destreza y repasar los artefactos elaborados previamente. Tiene destreza en las dos
instrumentalizaciones, la de la persona y la del artefacto (Trouche & Drijvers, 2010).
Las evidencias mostradas sobre la resolución de una tarea con tecnología y sin ella permiten hablar de
un PC desarrollado por los cuatro profesores, porque Perla, Carlos, Mónica y Luis lograron construir
artefactos sin importar el contexto de las aplicaciones (Grover, 2022). Además, lograron la simbiosis
porque llegaron a resolver tareas sin el uso de la tecnología (Buteau et al., 2020).
Códigos y categorías
Ahora pasemos al análisis temático de las transcripciones de los cuatro profesores sobre el diseño de
artefactos para resolver tareas matemáticas. Se muestran las coincidencias en dos temáticas: la
primera, centrada en el desarrollo de habilidades digitales a través de diferentes aplicaciones, además
del uso tradicional con lápiz; y la segunda, respecto a la construcción de artefactos que coadyuven el
pensamiento matemático de los estudiantes y los profesores.
Habilidades digitales
Es importante el uso de la tecnología en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas.
El uso de aplicaciones como Excel, WolframAlpha, Chat GPT, Photomath, GeoGebra y Python ayudan a
resolver problemas.
Las aplicaciones son útiles como apoyo en la resolución de problemas, pero no sustituyen la forma
tradicional.
Mantener un equilibrio entre el uso de tecnología y métodos tradicionales en el salón de clases.
Construcción de artefactos:
Los artefactos pueden tener un impacto favorable en el pensamiento matemático de los estudiantes.
Los artefactos pueden facilitar la resolución de problemas, es necesario hacer un uso crítico de los
mismos.
Se encontraron estrategias para utilizar los artefactos de manera efectiva en el aula, como la
comprobación de resultados y la creación de actividades que fomenten el pensamiento matemático.
CONCLUSIONES
Buscamos en este artículo ilustra cómo el PC de cuatro profesores de bachillerato puede ayudar a
diseñar artefactos para poder resolver tareas matemáticas utilizando Excel, GeoGebra, Chat GPT,
WolframAlpha, Python y la forma tradicional a mano. Esta idea coincide en que los alumnos y los
profesores del siglo XXI deben contar con pensamiento crítico, creatividad, colaboración,
comunicación y PC (Grover, 2018).
En este artículo entendemos al PC como una habilidad para resolver tareas matemáticas (problemas,
ejercicios, proyectos, etc.) que los niños y los jóvenes pueden desarrollar. En la figura 9 planteamos un
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modelo que explica el diseño de artefactos (productos para realizar una actividad como algoritmos
para resolver una ecuación, código en lenguaje Python, hojas de cálculo en Excel, calculadora gráfica
en GeoGebra, entre otros) para resolver tareas desarrollado en cinco pasos y tres ciclos.
En el apartado 4.3 se encuentra el análisis temático de las entrevistas basadas en artefactos, por los
elementos que tienen los cuatro profesores en común, que son: el uso de la tecnología, valoran el uso
de herramientas tecnológicas en el aula para enseñar matemáticas; impacto de los artefactos, que
favorece dos aspectos, la resolución de problemas y el pensamiento matemático de los alumnos, pero
también debe hacerse de forma crítica porque se pueden distraer los alumnos.
Para terminar, el PC involucra el diseño de artefactos (Grover, 2022) que se pueden convertir en
instrumentos por prácticas matemáticas (Trouche, 2004). Dichas prácticas serán motivadas en los
alumnos por su profesor de matemáticas, entonces el profesor deberá tener desarrollado un cierto PC,
haber diseñado algunos artefactos y construido varios instrumentos a lo largo de su experiencia que
podrá compartir con sus alumnos, nadie puede dar algo que no tiene. Tenemos que hacer ajustes en
las reformas educativas para introducir el PC como un elemento del currículum desde educación
básica, para tener en un plazo medio creadores de tecnología y no consumidores en nuestros alumnos.
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