LATAM Revista Latinoamericana de Ciencias Sociales y Humanidades, Asunción, Paraguay.
ISSN en línea: 2789-3855, noviembre, 2024, Volumen V, Número 6 p 721.
DOI: https://doi.org/10.56712/latam.v5i6.3040
Métodos Iterativos para la Resolución de Ecuaciones No
Lineales (2021-2024): Eficiencia y Orden de
Convergencia. Revisión Sistemática
Systematic Review of Iterative Methods for Solving Nonlinear
Equations (2021-2024): Efficiency and Order of Convergence
Julio Cesar Villavicencio Mera
jvillavicenciom@unemi.edu.ec
https://orcid.org/0009-0006-0822-1686
Universidad Estatal de Milagro
Milagro – Ecuador
Rayner Reynaldo Ricaurte Párraga
rricaurtep@unemi.edu.ec
https://orcid.org/0009-0004-4025-0087
Universidad Estatal de Milagro
Milagro – Ecuador
Jennyffer Rebeca Yépez Ramírez
jyepezr5@unemi.edu.ec
https://orcid.org/0009-0000-8976-8048
Universidad Estatal de Milagro
Milagro – Ecuador
José Antonio Castillo Cárdenas
joancast@icloud.com
https://orcid.org/0009-0001-4599-4251
Investigador Independiente
Milagro – Ecuador
Juan Diego Leon Vite
Judileon93@gmail.com
https://orcid.org/0009-0004-7671-2837
Investigador Independiente
Milagro – Ecuador
Artículo recibido: 09 de noviembre de 2024. Aceptado para publicación: 23 de noviembre de 2024.
Conflictos de Interés: Ninguno que declarar.
Resumen
Este artículo presenta una revisión sistemática de métodos iterativos para resolver ecuaciones
no lineales, enfocándose en su eficiencia y orden de convergencia. El objetivo es evaluar las
mejoras recientes en estos métodos y su aplicabilidad a diversos problemas. La metodología
consistió en analizar artículos recientes sobre métodos iterativos, seleccionando aquellos que
proponen avances en velocidad de convergencia y eficiencia computacional. Se compararon
doce métodos, evaluando sus características y desempeño.El desarrollo destaca que los
métodos con un orden de convergencia cuatro son los más eficientes en términos de rapidez y
bajo costo computacional. Sin embargo, algunos métodos con mayor orden de convergencia,
aunque más precisos, requieren un mayor número de evaluaciones y operaciones, lo que
incrementa su complejidad computacional.De esta manera, la elección del método adecuado
depende de las características del problema a resolver. Los métodos con un orden de
convergencia cuatro son recomendables cuando se busca un buen balance entre eficiencia y
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ISSN en línea: 2789-3855, noviembre, 2024, Volumen V, Número 6 p 722.
rapidez, mientras que los métodos con mayor orden de convergencia son útiles para problemas
donde la precisión es prioritaria, a costa de un mayor costo computacional.
Palabras clave: métodos Iterativos, ecuaciones no lineales, orden de convergencia,
índice de eficiencia
Abstract
This paper presents a systematic review of iterative methods for solving nonlinear equations,
focusing on their efficiency and order of convergence. The objective is to evaluate recent
improvements in these methods and their applicability to various problems. The methodology
involved analyzing recent articles on iterative methods, selecting those that propose
advancements in convergence speed and computational efficiency. Twelve methods were
compared, evaluating their features and performance. The development highlights that methods
with a convergence order of four are the most efficient in terms of speed and low computational
cost. However, some methods with higher convergence orders, while more precise, require a
higher number of evaluations and operations, increasing their computational complexity. Thus,
the choice of the appropriate method depends on the characteristics of the problem to be solved.
Methods with a convergence order of four are recommended when a good balance between
efficiency and speed is needed, while methods with higher convergence orders are useful for
problems where precision is prioritized, at the cost of higher computational expense.
Keywords: iterative methods, nonlinear equations, order of convergence, efficiency index
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Cómo citar: Villavicencio Mera, J. C., Ricaurte Párraga, R. R., Yépez Ramírez , J. R., Castillo
Cárdenas, J. A., & Leon Vite, J. D. (2024). Métodos Iterativos para la Resolución de Ecuaciones
No Lineales (2021-2024):. LATAM Revista Latinoamericana de Ciencias Sociales y Humanidades
5 (6), 721 – 732. https://doi.org/10.56712/latam.v5i6.3040
LATAM Revista Latinoamericana de Ciencias Sociales y Humanidades, Asunción, Paraguay.
ISSN en línea: 2789-3855, noviembre, 2024, Volumen V, Número 6 p 723.
INTRODUCCIÓN
Uno de los desafíos más apasionantes y complejos en las matemáticas por sus múltiples
aplicaciones, en ingeniería, economía y demás ciencias, es encontrar las soluciones de
ecuaciones y sistema de ecuaciones no lineales. Sin embargo, analíticamente encontrar una
solución puede ser muy trabajoso o una misión imposible, para ello existen métodos numéricos
basados en procedimientos iterativos que permiten superar esta limitación. En este contexto, los
métodos iterativos se han consolidado como una herramienta poderosa para encontrar
soluciones numéricas aproximadas de ecuaciones no lineales.
Los métodos iterativos no están exentos de limitaciones. La convergencia puede ser lenta o
incluso no ocurrir, dependiendo de la elección del punto inicial o de la naturaleza de la función.
En los últimos años estos métodos han mejorado, motivado por la necesidad de soluciones más
eficientes y rápidas. Este impulso ha sido acompañado por avances en computación de alto
rendimiento, la inteligencia artificial y el análisis numérico, lo que ha permitido explorar nuevas
variantes y estrategias adaptativas para superar los desafíos tradicionales.
Los métodos iterativos se pueden clasificar en de un solo paso como el método de Newton o
multipaso, como son los métodos de Traub (Traub, 1982), Ostrowski (Ostrowski, 1973), Jarratt
(Jarratt, 1966), siendo estos últimos el tipo de método en el que la investigación se va a centrar.
El objetivo de este artículo es realizar una revisión sistemática de diversos métodos iterativos
modernos para resolver ecuaciones no lineales desde el año 2021, reconociendo ciertas
características de estos como la eficiencia del método y el orden de convergencia. A través de
este análisis, se pretende ofrecer una visión comprensiva de las tendencias actuales, las
innovaciones más relevantes, y los retos que aún persisten en este campo.
La motivación para llevar a cabo este estudio radica en la importancia de mejorar las técnicas de
solución de ecuaciones no lineales. Al sintetizar los avances recientes, se espera contribuir a un
entendimiento más profundo de las metodologías iterativas y su aplicabilidad a una amplia gama
de problemas no lineales.
METODOLOGÍA
Para el desarrollo de esta investigación, se definieron criterios de selección centrados en
artículos publicados a partir del año 2021, priorizando aquellos que presentan mejoras
significativas en los métodos iterativos para la resolución de ecuaciones no lineales,
particularmente en términos de su eficiencia y orden de convergencia.
Se realizaron búsquedas en bases de datos académicas como Scopus, Web of Science y Google
Scholar, utilizando palabras clave relevantes como (“Diseño” OR “Desarrollo”) AND (“Métodos
iterativos”) AND (“Ecuaciones no lineales” OR “Sistemas no lineales”). El siguiente diagrama de
flujo detalla el proceso de selección de los artículos, según las variables establecidas. Este
diagrama permitió excluir aquellas investigaciones que no cumplían con los criterios de
selección, asegurando la calidad y relevancia de los estudios seleccionados para la revisión.
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ISSN en línea: 2789-3855, noviembre, 2024, Volumen V, Número 6 p 724.
Figura 1
Proceso de selección de artículos
Fuente: elaboración propia.
Tras completar esta etapa de búsqueda, se recopiló un total de 26 investigaciones, las cuales
fueron depuradas y evaluadas para cumplir con los requisitos establecidos, resultando en la
selección final de 7 estudios que cumplían con los criterios definidos.
Los artículos seleccionados se organizan y presentan en tablas y gráficos, que ilustran tanto el
índice de eficiencia como el orden de convergencia de los métodos analizados. Esta estructura
permite visualizar de manera clara los avances recientes en el campo y facilita la comparación
entre los distintos enfoques utilizados para resolver ecuaciones no lineales.
RESULTADOS Y DISCUSIÓN
Método multipaso
Según mencionan (Cordero & Torregrosa, 2016): Los métodos iterativos de Multipaso También
conocidos como predictor-corrector, son aquellos que la (�� + 1) − é�������� iteración se determina
solo con las evaluaciones funcionales de la �� − é�������� iteración, en conjunto de los pasos
anteriores, es decir para el caso sin memoria
���� = ��(����)
����+1 = ��(���� , ����)
o para el caso con memoria
���� = ��(���� , ����−1, … , ����−��)
����+1 = ��(����, ����−1, … , ����−�� , ����), �� < ��
Orden de Convergencia
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ISSN en línea: 2789-3855, noviembre, 2024, Volumen V, Número 6 p 725.
No es posible analizar los métodos iterativos sin abordar el orden de convergencia, ya que este
concepto determina la velocidad con la que un método se aproxima a la solución, dado un
conjunto de condiciones específicas.
Definición 1. Sea {����}��>0 una sucesión de números producida por un método iterativo, que
converge a una solución ��. Si existe un número real p y una constante positiva C, tal que
|����+1 − ��|
|���� − ��|��
= ��
entonces se puede concluir que el método es de orden p y C es la constante de error asintótica.
Del mismo modo, se puede establecer la ecuación del error de un método como
����+1 = ����+1
�� + ��(����
��+1)
Donde ���� = ���� − ��. (Cordero & Torregrosa, 2016)
Eficiencia del método
Para del orden de convergencia, existen diversos criterios de eficiencia que ofrecen información
adicional sobre la rapidez con la que un método encuentra una estimación de la solución. Estos
criterios están relacionados con el número de evaluaciones funcionales d. (Villavicencio M.,
2022)
La eficiencia informacional definida por (Traub, 1964) , es la relación entre el orden de
convergencia p y el número de evaluaciones funcionales por iteración,
�� =
��
��
(Ostrowski, 1960) definió el índice de eficiencia como
���� = ��
1
��
El Índice de eficiencia computacional descrito por (Cordero & Torregrosa, 2016), nace de una
combinación entre el índice de eficiencia de Ostrowski y el índice operacional de (Ezquerro et al.,
2009)
������ = ��
1
��+����
Donde op es el número de operaciones producto/cociente por iteración (op).
La conjetura de Kung y Traub, descrita por (Kung & Traub, 1974): “El orden de convergencia de
cualquier método multipaso no puede ser mayor a 2��−1, donde d es el número de evaluaciones
funcionales por iteración”. Por lo tanto, se dice que un método es óptimo cuando el orden de
convergencia p es igual a 2��−1.
Métodos iterativos a estudiar
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ISSN en línea: 2789-3855, noviembre, 2024, Volumen V, Número 6 p 726.
Luego de una selección exhaustiva de artículos que cumplen con los requisitos previamente
mencionados, se identificaron un total de 12 métodos iterativos diferentes propuestos para la
resolución de ecuaciones no lineales, que surgen de la mejora continua y refinamiento de
técnicas clásicas y la introducción de nuevos algoritmos diseñados para mejorar aspectos como
la velocidad de convergencia y la eficiencia de los métodos.
Los métodos escogidos son: MHK (Hafiz & Khirallah, 2021), AMF1 Y AMF2 (Khirallah &
Alkhomsan, 2022), TSI (Comemuang & Janngam, 2022), AL2.4 (P. Janngam & C. Comemuangb,
2023), AZ1, AZ2, AZ3 Y AZ4 (Zein, 2023), LCT (Cordero et al., 2024), SN1 Y SN2 (Abdullah et al.,
2024).
Hafiz et al. en (Hafiz & Khirallah, 2021) el cual ha sido citado cuatro veces, desarrollaron el
Método MHK de dos pasos, el cual tiene como expresión iterativa.
���� = ���� −
2��(����)
3��′(����)′
���� + 1 = ���� −
��(����)
6 (��′(����) + ��′(����))
[1 + 3
��′(����)
��′(����)
− 4 ���� (2 −
��′(����)
��′(����)
)]
Khirallah et al. en (Khirallah & Alkhomsan, 2022) el cual ha sido citado 4 veces, desarrollaron el
Método AMF1 de dos pasos y el Método AMF2 de tres pasos, los cuales presentan los siguientes
esquemas.
Método AMF 1
���� = ���� −
2
3
��(����)
��′(����)
���� + 1 = ���� − [
85��′(����) ��′(����) − 41��′(����)2
−54��′(����)2 + 120��′(����) ��′(����)
]
��(����)
��′(����) + ��′(����)
Método AMF 2
���� = ���� −
2
3
��(����)
��′(����)
���� = ���� − [
85��′(����) ��′(����) − 41��′(����)2
−54��′(����)2 + 120��′(����) ��′(����)
]
��(����)
��′(����) + ��′(����)
���� + 1 = ���� − (
1
3��′(����)
−
8
15��′(����) − 27��′(����)
) ∙ ��(����)
Comemuang et al. en (Comemuang & Janngam, 2022), desarrollaron el Método TSI, que es el de
mayor orden en esta revisión, consta de tres pasos e inicialmente incluía la segunda derivada de
la función. Sin embargo, esta derivada fue reducida e a una función que depende únicamente de
la primera derivada, describiéndolo de la siguiente manera.
���� = ���� −
��(����)
��′(����)
���� = ���� −
2��(����)
��′(����)(1 + √1 − 2����)
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ISSN en línea: 2789-3855, noviembre, 2024, Volumen V, Número 6 p 727.
���� + 1 = ���� −
��(����)
��′(����)
−
��(����)����
2��′3(����)
���� =
��(����)��′′(����)
��′(����)2
��′′(����) =
2
���� − ����
(2��′(����) + ��′(����) − 3
��(����) − ��(����)
���� − ����
)
��′′(����) = ���� =
2
���� − ����
(2��′(����) + ��′(����) − 3
��(����) − ��(����)
���� − ����
)
El Método AL2.4 desarrollado por en Janngam et al. en (P. Janngam & C. Comemuangb, 2023) el
cual se ha citado cinco veces, consiste en un método de tres pasos definido por el esquema
���� = ���� −
��(����)
��′(����)
���� = ���� −
(��(����) − �� (����))��(����)
(��(����) − 2��(����))��′(����)
����+1 = ���� −
��(����)
��′(����)
−
��(����)��
2��′3(����)
��′′(����) =
2
���� − ����
(2��′(����) + ��′(����) − 3
��(����) − �� (����)
���� − ����
) = ��.
Ali Zein diseño la familia de Métodos AZ de orden cinco en (Zein, 2023) para resolver ecuaciones
no lineales, de la cual nacieron los siguientes esquemas.
Método AZ1
���� = ���� −
��(����)
��′(����)
����+1 = ���� − [
9��′ (����) + 31��′(����)
5��′(����) + 3��′( ����)
]
��(����)
7��′(����) − 2 ��′(����)
Método AZ2
���� = ���� −
��(����)
��′(����)
����+1 = ���� − [
5��′ (����) + 7��′(����)
3��′(����) + ��′( ����)
]
��(����)
4��′(����) − ��′(����)
Método AZ3
���� = ���� −
��(����)
��′(����)
����+1 = ���� − [
231��′ (����) + 289��′(����)
−13��′(����) + 53��′( ����)
]
��(����)
10��′(����) + 3��′(����)
LATAM Revista Latinoamericana de Ciencias Sociales y Humanidades, Asunción, Paraguay.
ISSN en línea: 2789-3855, noviembre, 2024, Volumen V, Número 6 p 728.
Método AZ4
���� = ���� −
��(����)
��′(����)
����+1 = ���� +
4��′2(����)�� (����)
(��′(����) − ��′(����))2 (2��′(����) − ��′(����)) − 4 ��′2(����)��′(����)
En la investigación (Cordero et al., 2024) citada dos veces, se diseñó la familia de Métodos LTC
de orden 4. De esta familia, se seleccionó un método por encima de los demás debido a sus
mejores resultados, el cual se define por los siguientes dos pasos.
���� = ���� −
2
3
��(����)
��′(����)
, �� = 0, 1, 2 …
����+1 = ���� − [
9
8
−
1
2
��′(����)
��′(����)
−
1
6
��′(����)
��′(����)
+
5
3
(
��′(����)
��′(����)
)
2
]
��(����)
��′(����)
Abdullah et al. diseñaron dos métodos óptimos en (Abdullah et al., 2024), el Método SN1 consiste
de dos pasos y el Método SN2 de tres pasos, descritos con los siguientes esquemas.
Método SN1
���� = ���� −
��(����)
��′(����)
,
����+1 = ���� −
��(����)(�� (����)3 + 2��(����)�� (����)2) + ��(����)3
��′(����)(��(����) − ��(����)) (��(����)2) + ��(����)2
Método SN2
���� = ���� −
��(����)
��′(����)
,
���� = ���� −
��(����)(�� (����)3 + 2��(����)�� (����)2)
��′(����)(��(����) − ��(����)) (��(����)2) + ��(����)2
����+1 = ���� −
��(����)(���� − ����)
��(����) − ��(����)
((1 −
����
2
2
) + 2���� + ����
2)
��ℎ������ ���� =
��(����)
�� (����)
, ���� =
��(����)
��(����)
������ ���� =
��(����)
��(����)
Una vez culminada la etapa de selección de los métodos, se procedió a tabular su información,
en la siguiente tabla se podrá observar los métodos estudiados ordenados por fecha de
publicación, el orden de convergencia (p), la ecuación del error y si el método es óptimo o no,
según la conjetura de Kung y Traub (KT), estudiada en el capítulo anterior.
Tabla 1
LATAM Revista Latinoamericana de Ciencias Sociales y Humanidades, Asunción, Paraguay.
ISSN en línea: 2789-3855, noviembre, 2024, Volumen V, Número 6 p 729.
Método, ecuación de error
Método Ecuación del error p KT Óptimo
MHK
����+1 =
1
234
(299��2
3 − 234��2��3 + 27��4)����
4 + �� (����
5)
4 4 SI
AMF1
����+1 = (
43
99
��2
3 − ��2��3 +
1
9
��4) ����
4 + ��(����
5)
4 4 SI
AMF2
����+1 = (−
43
99
��2
3��3 − ��2��3
2 −
1
9
��3��4) ����
6 + ��(����
7)
6 8 NO
TSI ����+1 = (��2
8��3
2��4 − 2��2
7��3��4
2 + ��2
6��4
3) ����
16 + �� (����
17) 16 32 NO
AL 2.4 ����+1 = (2��2
11 − 7��2
9��3 + ��2
8��4 + 9��2
7��3
2 − 2��2
6��3��4 − 5��2
5��3
3
+ ��2
4��3
2��4 + ��2
3��3
4) ����
12 + �� (����
13)
12 32 NO
AZ1
����+1 = (
9
20
��2
4 − ��2
2��3) ����
5 + �� (����
6)
5 8 NO
AZ2
����+1 = (
5
6
��2
4 − ��2
2��3) ����
5 + �� (����
6)
5 8 NO
AZ3
����+1 = (
231
260
��2
4 − ��2
2��3) ����
5 + �� (����
6)
5 8 NO
AZ4 ����+1 = −��2
2��3����
5 + �� (����
6) 5 8 NO
LCT
����+1 =
1
81
(85��2
3 − 81 ��2��3 + 9��4)����
4 + �� (����)5
4 4 SI
SN1 ����+1 = (2��2
3 − ��2��3)����
4 + ��(����
5) 4 4 SI
SN2
����+1 =
1
2
��2(2��2
2 − ��3)(2��2
4 − 12��2
2��3 + ��3
2 + 2��2��4)����
8
+ ��(����
9)
8 8 SI
Fuente: elaboración propia.
De la tabla se obtiene la siguiente información.
Los métodos con "Óptimo" = Sí son MHK, AMF1, LCT, SN1, SN2.
Los métodos con "Óptimo" = No son AMF2, TSI, AL 2.4, AZ1, AZ2, AZ3, AZ4.
Los métodos óptimos tienen un comportamiento de convergencia más eficiente para ciertas
ecuaciones no lineales, mientras que los no óptimos presentan una eficiencia menor en cuanto
a la tasa de convergencia o el número de iteraciones necesarias.
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ISSN en línea: 2789-3855, noviembre, 2024, Volumen V, Número 6 p 730.
Gráfico 1
Tipos de eficiencia de los métodos iterativos estudiados
Fuente: elaboración propia.
El gráfico muestra diferentes tipos de eficiencia de los métodos iterativos estudiados, los valores
de eficiencia indican cómo cada método converge hacia una solución. Los métodos TSI (2.666),
AL2.4 y SN2 (2.000) presentan una mejor Eficiencia Informacional ( I ), esto se debe a que son de
mayor orden de convergencia. El método SN2, presenta un mayor Índice de Eficiencia (IE) e Índice
de Eficiencia Computacional (IEC), debido a que es un método óptimo con mayor orden de
convergencia.
CONCLUSIÓN
El análisis comparativo de métodos iterativos para la resolución de ecuaciones no lineales
muestra que algunos métodos, como MHK, AMF1, LCT, SN1 y SN2, ofrecen un buen equilibrio
entre rapidez de convergencia y bajo costo computacional, alcanzando un orden de convergencia
de 4. Estos métodos cumplen con la conjetura de Kung y Traub, lo que los clasifica como óptimos
para aplicaciones que requieren soluciones rápidas y eficientes. Por otro lado, métodos como
AMF2 y TSI, aunque logran un mayor orden de convergencia, requieren más evaluaciones y
operaciones por iteración, lo que aumenta la complejidad computacional y puede limitar su uso
en escenarios donde el tiempo de ejecución es crucial.
Los avances recientes en la mejora de estos métodos, como los propuestos destacan la
tendencia a optimizar tanto la velocidad de convergencia como la eficiencia computacional,
siendo el Método SN2 el mejor de todos los estudiados. Estos desarrollos permiten que los
métodos iterativos sean más adaptables y adecuados para resolver problemas no lineales
complejos. En resumen, la elección del método depende de las necesidades específicas del
problema, ya sea buscando rapidez en la convergencia o una mayor precisión. Los métodos con
un orden de convergencia de 4 son los más adecuados para problemas donde se busca un
equilibrio entre eficiencia y rapidez.
MHK AMF1 AMF2 TSI AL2,4 AZ1 AZ2 AZ3 AZ4 LCT SN1 SN2
IEC 1,219 1,189 1,161 1,157 1,180 1,222 1,222 1,222 1,222 1,219 1,166 1,138
I 1,333 1,333 1,500 2,666 2,000 1,250 1,250 1,250 1,250 1,333 1,333 2,000
IE 1,587 1,587 1,565 1,587 1,513 1,495 1,495 1,495 1,495 1,587 1,587 1,681
0,0000
0,5000
1,0000
1,5000
2,0000
2,5000
3,0000
Métodos Iterativos
Eficiencia de los métodos
IEC
I
IE
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ISSN en línea: 2789-3855, noviembre, 2024, Volumen V, Número 6 p 731.
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LATAM Revista Latinoamericana de Ciencias Sociales y Humanidades, Asunción, Paraguay.
ISSN en línea: 2789-3855, noviembre, 2024, Volumen V, Número 6 p 732.
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