LATAM Revista Latinoamericana de Ciencias Sociales y Humanidades, Asunción, Paraguay.
ISSN en línea: 2789-3855, febrero, 2023, Volumen 4, Número 1, p. 1721.
DOI: https://doi.org/10.56712/latam.v4i1.373
Esquema lógico-esquemático para representar
problemas básicos de matemáticas en la formación de
ingenieros
Logical-schematic scheme for representing basic mathematical
problems in engineering education
Erika Ercilia Vázquez Moreno
Universidad Tecnológica del Sur de Sonora
evazquez@uts.edu.mx
Ciudad Obregón, Sonora – México
Eusebio Jiménez López
Universidad Tecnológica del Sur de Sonora
ejimenezl@msn.com
Ciudad Obregón, Sonora – México
Helga Karina Tolano Gutiérrez
Universidad Tecnológica del Sur de Sonora
ktolano@uts.edu.mx
Ciudad Obregón, Sonora – México
Laura Olivia Amavizca Váldez
Universidad Tecnológica del Sur de Sonora
lamavizca@uts.edu.mx
Ciudad Obregón, Sonora – México
Lilia Zulema Gaytán Martínez
Universidad Tecnológica del Sur de Sonora
zgaytan@uts.edu.mx
Ciudad Obregón, Sonora – México
Francisco David Valladares Aranda
Universidad Tecnológica del Sur de Sonora
dvalladares@uts.edu.mx
Ciudad Obregón, Sonora – México
Dolores Guadalupe Vázquez Moreno
Universidad Tecnológica del Sur de Sonora
gvazquez@uts.edu.mx
Ciudad Obregón, Sonora – México
Artículo recibido: día 24 de enero de 2023. Aceptado para publicación: 9 de febrero de 2023.
Conflictos de Interés: Ninguno que declarar.
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ISSN en línea: 2789-3855, febrero, 2023, Volumen 4, Número 1, p. 1722.
Resumen
Este artículo presenta un método denominado "lógico-esquemático" que se utiliza para
representar y resolver problemas y ejercicios durante el aprendizaje de las matemáticas básicas
en ingeniería. El método lógico-esquemático es una representación que consta de cuatro partes:
1) Una parte donde se sintetiza el texto del ejercicio, 2) Una parte donde se colocan las reglas de
síntesis (fórmulas generales), 3) Una parte donde se desarrolla el problema y 4) Una parte donde
se realiza el análisis del ejercicio. Las partes que integran el método lógico-esquemático están
relacionadas entre sí y se representan con una serie de flechas las cuales describen las
relaciones e interconexiones entre las reglas de análisis y síntesis. El método puede utilizarse
durante el aprendizaje en el aula o para realizar tareas y fue aplicado a un grupo de alumnos que
llevaban la materia de cálculo integral y diferencial obteniéndose resultados favorables.
Palabras clave: matemáticas básicas, educación en ingeniería, razonamiento
Abstract
This article presents a method called "logical-schematic" which is used to represent and solve
problems and exercises during the learning of basic mathematics in engineering. The logical-
schematic method is a representation consisting of four parts: 1) A part where the text of the
exercise is synthesized, 2) A part where the synthesis rules (general formulas) are placed, 3) A
part where the problem is developed and 4) A part where the analysis of the exercise is performed.
The parts that make up the logical-schematic method are interrelated and are represented by a
series of arrows that describe the relationships and interconnections between the rules of
analysis and synthesis. The method can be used during learning in the classroom or for
homework and was applied to a group of students taking the subject of integral and differential
calculus, obtaining favorable results.
Keywords: basic mathematics, engineering education, reasoning
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Como citar: Vázquez Moreno, E. E., Jiménez López, E., Tolano Gutiérrez, H. K., Amavizca Váldez,
L. O., Gaytán Martínez, L. Z., Valladares Aranda, F. D., & Vázquez Moreno, D. G. (2023). Esquema
lógico-esquemático para representar problemas básicos de matemáticas en la formación de
ingenieros. LATAM Revista Latinoamericana de Ciencias Sociales y Humanidades 4(1), 1721–
1735. https://doi.org/10.56712/latam.v4i1.373
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ISSN en línea: 2789-3855, febrero, 2023, Volumen 4, Número 1, p. 1723.
INTRODUCCIÓN
Hoy en día en los centros de enseñanza de educación superior se estudian diversas asignaturas
de Matemáticas configuradas en el concepto general de "Matemáticas superiores", las cuales
sirven de base para la enseñanza de la educación en ingeniería y las disciplinas especiales, cuyo
objetivo principal es la formación de los futuros especialistas e ingenieros, esto es, auxilian en la
formación y en el desarrollo de los puntos de vista científicos, las capacidades mentales y el
pensamiento lógico (Barakaev et al. 2020). En la enseñanza de la ingeniería el tronco común de
las matemáticas busca formar una estructura lógica en el pensamiento de los alumnos y trata
de que se concienticen en que las matemáticas son el fundamento de la ingeniería y sus
aplicaciones. Sin embargo, la enseñanza de las matemáticas no es una tarea sencilla ni universal
en la educación de la ingeniería y generalmente existen controversias entre los profesores.
De acuerdo con Koay (2022), los ingenieros y los matemáticos no parecen estar totalmente de
acuerdo en cómo deben enseñarse las matemáticas debido a la formación de cada uno de ellos.
Los ingenieros por lo general aplican lenguajes informales y buscan la comprensión de
conceptos fundamentales para la resolución de problemas (enseñan más procedimientos que
formalismo), en tanto que los matemáticos recurren al rigor y al formalismo (le dan más
importancia a las definiciones, axiomas, teoremas y propiedades que a las aplicaciones),
procesos que a decir verdad los alumnos de ingeniería y los mismos profesores de ingeniería no
están preparados. En algunas escuelas los departamentos de ingeniería se preguntan cada vez
más si están obteniendo los resultados deseados de los cursos básicos de matemáticas debido
a que dichos cursos son una fuente importante de abandono y a que muchos profesores de
ingeniería no están satisfechos con las habilidades matemáticas de los estudiantes (Faulkner,
Earl y Herman 2019). Los problemas ante la falta de resultados de los estudios en matemáticas
para las ingenierías han provocado que en algunas escuelas los profesores de ingeniería
consideren enseñar matemáticas en lugar de los profesores en matemáticas. Los problemas de
la enseñanza de las matemáticas no se reducen a un conflicto entre ingenieros y matemáticos,
en ocasiones están involucradas otras variables como el desinterés y la baja motivación, y que
se deriva en la mayoría de los casos de la falta de concienciación de los estudiantes de grado
sobre la importancia de las matemáticas para su carrera profesional (López y Peña 2021).
Existen diversas investigaciones orientadas a proponer métodos y estrategias para impulsar la
enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en la educación en ingeniería. Por ejemplo,
Abramovich, Grinshpan y Milligan (2019), muestran un enfoque de la enseñanza de las
matemáticas basado en el aprendizaje por la acción junto con la motivación natural derivada del
sentido común. De acuerdo con los autores, el mensaje final de su trabajo de investigación es
que, utilizando repetidamente la motivación conceptual y el aprendizaje activo en todos los
niveles de la educación matemática, el éxito general de los estudiantes tiene un gran potencial
de mejora. Milaturrahmaha, Mardiyana y Pramudyac (2017), utilizaron el STEM (Science,
Technology, Engineering and Mathematics) como enfoque de aprendizaje de las matemáticas en
Indonesia. La aplicación del aprendizaje de las matemáticas con el enfoque STEM, de acuerdo
con los autores, hace que los graduados capacitados en el uso de los conocimientos de
matemáticas tiendan a crear productos innovadores y sean capaces de resolver los problemas
que existen en la sociedad. Lahann y Lambdin (2020) propusieron al aprendizaje colaborativo
para el aprendizaje de las matemáticas. La investigación demostró que el aprendizaje de los
alumnos se acelera cuando trabajan en colaboración y en tareas bien estructuradas,
cuidadosamente ejecutadas y con responsabilidad individual. Jiménez et al. (2016) utilizaron el
Aprendizaje Basado en Problemas para motivar los aprendizajes en la materia de Cálculo
Vectorial. Las experiencias mostraron dos aspectos: 1) Los alumnos muestran aceptación de las
metodologías activas y se comprometen y desarrollan sus actividades en forma más organizada
y con entusiasmo y 2) Los modelos educativos centrados en el alumno deben implementarse en
forma gradual y con el acompañamiento necesario para que los alumnos y profesores puedan
entender los enfoques y sus roles dentro y fuera del salón de clases.
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Si bien las propuestas de métodos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas son diversas
y variadas, es necesario desarrollar otras técnicas para poder tener diversidad y estrategias que
puedan ser usadas por los profesores y alumnos. En las ingenierías la enseñanza de las
matemáticas (dada por profesores-ingenieros) en general se da aplicando lenguajes informales
y buscan la comprensión de conceptos fundamentales para la resolución de problemas Koay
(2022). La idea es que los alumnos comprendan la teoría pero que gran parte del tiempo hagan
ejercicios de los libros. Por lo tanto, la solución de ejercicios es una práctica común en la
enseñanza de las matemáticas para las ingenierías. Si bien el desarrollo lógico secuencial de los
ejercicios es una práctica antigua que busca asegurar que la teoría se fije por medio de la
resolución de una serie de problemas, no siempre da buenos resultados debido a que los
alumnos se mecanizan dándole más importancia a los resultados que a visualizar las relaciones
entre conceptos, procedimiento y resultados.
La resolución de problemas en matemáticas es un componente de suma importancia para el
aprendizaje escolar ya que ayuda de gran manera al aspecto formativo de los alumnos. De
acuerdo con Căprioară (2015), la resolución de problemas es la forma obvia de manifestación y
utilidad de las matemáticas, intelectualmente y más allá. Esta actividad proporciona al alumno
la oportunidad de enfrentarse a una dificultad que puede superar explotando la combinación de
conocimientos que posee (declarativos, procedimentales y condicionales) de manera eficiente
en un contexto bien definido. El proceso de resolución de problemas también puede incluir el uso
de competencias como la fluidez procedimental, que probablemente se fortalezca a partir de una
comprensión más profunda de las matemáticas (Hiebert y Grouws 2007). La resolución de
problemas de matemáticas permite a los alumnos aplicar las definiciones y los procedimientos
vistos en clases en la solución analítica de ejercicios, y este proceder afianza los aprendizajes y
los conocimientos. Ruiz et al. (2003), explican que la resolución de problemas se concibe “como
generadora de un proceso a través del cual quien aprende combina elementos del conocimiento,
reglas, técnicas, destrezas y conceptos previamente adquiridos para dar solución a una situación
nueva”. Así, la resolución de problemas puede considerarse como el eje central de la enseñanza
en matemática.
Existen diversos métodos utilizados para la resolución de ejercicios de matemáticas, el más
antiguo es de Polya (1945) y de dicho método se han basado otros autores. Este método consta
de cuatro etapas: 1) Comprensión del problema, 2) Planificación, 3) Ejecución del plan y 4)
Supervisión. Algunos factores que intervienen en la resolución de ejercicios son: a) El problema
matemático a resolver, b) El alumno que resuelve el problema y c) El contexto en que el alumno
algunas veces aprende a resolver y en otras resuelve el problema matemático (Juidías y
Rodríguez 2007).
Por otro lado, un libro de texto puede considerarse como algo que describe o incluso define las
matemáticas que se enseñan. La forma en que se utilizan los libros de texto varía mucho, pero
no cabe duda de que los libros de texto son uno de los principales factores que influyen en la
enseñanza de las matemáticas (Rezat y Strässer 2014). Diversos libros de matemáticas usados
para la educación en ingeniería no sólo promueven la resolución de ejercicios, sino que presentan
métodos de resolución que ayudan a los alumnos (Larson y Edwards 2010). El análisis paso a
paso, el uso de calculadoras, retos y problemas relacionados con alguna situación física o
aplicada son algunas técnicas que se usan para motivar a los alumnos a que resuelvan las series
de ejercicios que vienen en los libros de texto.
A pesar del gran valor que tiene la resolución de los ejercicios para aprender matemáticas, sobre
todo en los primeros semestres de los estudios superiores, es preciso mencionar que existen
también diversas problemáticas. De acuerdo con Calvo (2008), se debe tener claro que no existen
recetas mágicas para dar solución a un problema, pero se pueden utilizar ciertos pasos que son
esenciales para hacerlo. Los alumnos resuelven ejercicios de matemáticas de manera mecánica
lo que provoca que no busquen otros procedimientos de resolución. La resolución de problemas
permite no sólo aprender matemáticas, sino también desarrollar el pensamiento lógico de los
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estudiantes. No obstante, los docentes en su práctica cotidiana de aula, en un intento por
promover este proceso matemático, se han limitado a la ejercitación repetitiva de algoritmos o a
la aplicación de fórmulas al finalizar los contenidos desarrollados (Patiño, Prada y Hernández
2021).
Es necesario ofrecerles a los alumnos otras formas de fijar el conocimiento e inclusive diseñar
estrategias de aprendizaje que se apeguen a su estilo de aprendizaje. En este sentido en un
trabajo presentado por Jiménez et al. (2006) se propusieron cuatro métodos para para motivar
la enseñanza de la ingeniería mecánica a estudiantes de ingeniería del tronco común. La materia
seleccionada para aplicar dichos métodos fue Dinámica. Los métodos fueron: 1) Sintético, 2)
Analítico, 3) Investigación y 3) Lógico-esquemático. De acuerdo con los autores, dichos métodos
se adecuaban a tres habilidades: 1) predominantemente analíticas, 2) predominantemente
sintéticas y 3) habilidades sintético- analíticas equivalentes. El método lógico-esquemático
puede usarse para organizar la información de un ejercicio resuelto o bien de forma directa al
resolver un problema. Este método se ha utilizado para representar problemas de las materias
estática (Jiménez et al, 2012a) y de circuitos eléctricos (Jiménez et al, 2012b) e incluso se
presentó una propuesta para aplicarlo en problemas de matemáticas (Jiménez et al, 2013). Sin
embargo, para el caso de la aplicación del método lógico-esquemático en matemáticas quedó
pendiente su evaluación. Otro de los métodos propuestos por Jiménez et al. (2006) fue el método
del entendimiento el cual se utiliza para sistematizar el planteamiento de los ejercicios y los otros
cuatro se usan para resolver el problema. Este método se desarrolló bajo la lógica de que un
problema bien planteado es equivalente a un 50% de su solución, por lo que antes de proceder a
resolver un ejercicio por cualquiera de los métodos se debe conocer a detalle lo que se pide y los
datos conocidos entre otras características.
En este artículo se presenta una experiencia de la aplicación del método lógico-esquemático,
apoyado por el método del entendiendo, para sistematizar un ejercicio de un problema de
matemáticas relacionado con la graficación vectorial (tarea que realizó un alumno durante la
prueba del método) y un cuestionario que fue aplicado a 20 alumnos de la materia de Cálculo
Vectorial para conocer la utilidad del método lógico-esquemático.
MÉTODO
La investigación desarrollada en este artículo es tipo descriptiva con enfoque cuantitativo y su
diseño es no experimental de corte transversal. Es descriptiva debido a que se caracterizaron los
métodos de resolución de problemas desarrollados por Jiménez et al, (2006), de los cuales dos
de ellos fueron aplicados a un caso de estudio. Para conocer las opiniones del uso del método
lógico-esquemático se diseñó y se aplicó un cuestionario a los alumnos.
El grupo de análisis fue de la materia cálculo vectorial de tercer semestre de la carrera de
Ingeniería Mecatrónica y la población fue de 20 alumnos. El método lógico-esquemático se aplicó
una vez visto el tema de funciones vectoriales y fue explicado por el instructor a los alumnos.
Posteriormente, los alumnos transformaron varios ejercicios resueltos del libro de texto
siguiendo las instrucciones del profesor. Al final se les aplicó el cuestionario mostrado en la tabla
8.
A continuación, se presenta una breve descripción de los métodos de planteamiento y solución
de ejercicios descritos por Jiménez et al. (2006):
La enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en las ingenierías no siguen una sola
estrategia didáctica esto debido a que a pesar de que se cuente con los mismos programas de
estudio y los planes de clase, los profesores por lo general imparten los cursos de manera
distinta incluyendo la resolución de problemas. Por ejemplo, los profesores con formación
matemática dan los cursos más formales mientras que los profesores con formación de
ingeniería dan las clases más prácticas y se orientan a la solución de problemas Koay (2022).
Otras diferencias se presentan en la prioridad de los conceptos, por ejemplo, existen profesores
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que les dan más importancia a las definiciones de referencia y otros a los procedimientos de
resolución y a los resultados. Por tales motivos se requiere no unificar criterios ni métodos de
resolución de problemas porque no sería lo ideal, más bien lo importante sería generar nuevos
métodos y planteamientos que se incorporen a las distintas herramientas de las que disponen
actualmente los profesores y alumnos.
La ingeniería sienta su método de análisis y sus aplicaciones en las matemáticas, por ello es de
suma importancia que los alumnos aprendan y manejen los conceptos matemáticos. Debido a
que en muchas ocasiones los alumnos manifiestan que las matemáticas no están relacionadas
con las aplicaciones debido a que la impartición de las clases precisamente está
descontextualizada con casos reales o con otras materias de aplicación, es necesario crear
modelos que permitan entender la transversalidad de las matemáticas en las materias de las
ingenierías. En este sentido Jiménez et al. (2006), propusieron un conjunto de métodos para la
solución de ejercicios de Dinámica que pueden ser aplicados a otras áreas de la ingeniería
incluyendo la enseñanza de las matemáticas (Jiménez et al. 2013). Estos métodos toman en
cuenta dos habilidades básicas de los alumnos y una combinación de las mismas: 1)
Predominantemente sintéticas, 2) Predominantemente analíticas y 3) Balance entre habilidades
sintéticas y analíticas. La manera de conocer y clasificar las habilidades de los alumnos en los
salones de clase se realiza de manera simple y práctica usando los siguientes pasos: 1) Encuesta
simple a los alumnos, 2) Revisión de los cuadernos y 3) La forma en que los alumnos resuelven
los ejercicios.
A groso modo las habilidades predominantemente analíticas se detectan cuando el alumno
prefiere las clases y la solución de ejercicios de forma limpia y ordenada, secuencial y paso a
paso, y no les gustan las clases desordenadas y no secuenciables. Por el contrario, los alumnos
con habilidades predominantemente sínteticas apreden en desorden y en general tienden a tener
apuntes en forma de gráficos o con poca información, y no les gusta el orden y la resolución de
problemas paso a paso. Existen alumnos que no importa como sean la presentación de las
clases y la resolución de los ejercicios ellos aprenden en orden o en desorden, con poca o mucha
información, pueden o no llevar un cuaderno en orden; estos alumnos se consideran con
habilidades sintético-analíticas. Los métodos propuestos por Jiménez et al. (2006) tomando la
clasificación de habilidades son: 1) Método del entendimiento, 2) Método sintético, 3) Método
analítico, 4) Método de investigación y 5) Método lógico-esquemático.
El primer método está asociado con un orden lógico el cual se utiliza para ordenar en forma
secuencial el análisis preliminar y el entendimiento de un problema o ejercicio, en tanto que los
métodos restantes se utilizan para resolver el problema una vez planteado y formulado. Los
métodos analíticos y sintéticos usados para resolver problemas son los que más comumente
utilizan los alumnos. El método analítico puede desarrollarse de dos maneras: Una de ellas es
resolver el problema ordenadamente y paso a paso, sustituyendo los valores conocidos de las
variables o las que se vayan determinando durante el proceso; otra forma es la de determinar un
modelo; esto es, que se sustituyan lo menos posible los datos conocidos en el desarrollo del
problema. Por lo que respecta al método síntetico, este también tiene dos posibles caminos de
aplicaciones: uno está relacionado con el desarrollo del problema de forma no ordenada y con
sustitución máxima de datos y otro en el cual se construyen modelos primitivos, tanto numéricos
como gráficos relacionados con el problema a resolver (Jiménez et al. 2006).
Los métodos de investigación y lógico-esquemático son más sofisticados, pues requieren del
dominio de la lógica y de la estructuración ordenada. El método de investigación es similar al
método analítico, con la diferencia en que todos sus párrafos, figuras, tablas, ecuaciones y
desarrollo van fuertemente conectados por una estructura lógica. En tanto el método lógico-
esquemático es una representación gráfica y lógica de la estructura de un problema y busca que
los alumnos sean capaces de tener claras las relaciones que existen entre las fórmulas sintéticas
y las analíticas en el desarrollo de un problema. Ambos métodos requieren que se haya utilizado
primero el método del entendimiento y se pueden usar para solucionar ejercicios de dos
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maneras: en forma directa o en forma indirecta. En la primera forma los alumnos pasan del
método del entendimiento al método de investigación en forma directa o bien, pueden utilizar
también en forma directa el método lógico-esquemático. En la forma indirecta, los alumnos
primero resuelven los problemas con los métodos analíticos y sintéticos, y luego lo transforman
a los métodos de investigación o lógico-esquemático (Jiménez et al. 2012a).
Los métodos descritos anteriormente buscan que los alumnos y profesores le den más énfasis
al orden, a la sistematización y a las relaciones entre la teoría y los problemas. Se trata de verificar
si los alumnos han logrado las competencias, esto es, si dominan las interrelaciones entre el
saber, el saber hacer y el ser, en el desarrollo de problemas en matemáticas.
El método del entendimiento
Uno de los grandes problemas que enfrentan los alumnos de ingeniería es el de plantear un
problema. La forma de leer el ejercicio y de determinar los datos conocidos y por encontrar,
presenta algunas veces serias dificultades. Otro problema es el entender que fórmulas se deben
utilizar y más aún, se le dificulta documentar y formular un problema. Para ayudar a que los
alumnos y profesores puedan tener un orden lógico para entender y formular problemas y
ejercicios, Jiménez et al. (2006) propusieron el siguiente método:
a) Leer cuidadosamente el discurso del problema.
b) Identificar del discurso del problema los datos por encontrar.
c) Identificar del discurso del problema los datos conocidos.
d) Los datos por encontrar y los datos conocidos pueden ser representados en una figura o
esquema, por ello, se debe interpretar cuidadosamente las figuras propuestas.
e) Identificar de los datos por encontrar sí: 1) Se trata de un número, 2) una función, 3) un vector,
4) una matriz u otro elemento, por ejemplo, si se quiere encontrar la rapidez, esta se
representa por un número real. La velocidad se puede representar por un vector y así
sucesivamente.
f) Aplicar el paso E) para el caso de los datos conocidos.
g) Si ya se comprendió el discurso del problema, entonces se debe proceder a darle solución y
antes, si es posible, se debe aplicar el siguiente modelo:
a. “Dadas X encuentre Y ”.
h) Aquí, X representa los datos conocidos y Y los datos por encontrar.
i) Documentar en la medida de lo posible todo lo relacionado con el problema.
j) Identificar una vez comprendido el discurso del problema, las fórmulas o leyes principales
con las cuáles solucionará el problema.
k) Identificar las fórmulas o reglas secundarias.
l) Utilizar el siguiente modelo antes de proceder a solucionar el problema: “Dado X, encuentre
Y tal que Z sea satisfecha”. Aquí, Z representa la o las fórmulas principales.
Cabe mencionar que el método del entendimiento sólo es una guía o formato que sirve para
ordenar los análisis que se realizan a la hora de interpretar y formular un problema. Si los alumnos
y profesores son capaces de llegar al paso K) es altamente probable que hayan entendido y
comprendido lo que pide resolver el ejercicio.
El método lógico-esquemático.
Una vez formulado con el método del entendimiento un problema o ejercicio hasta el paso K), se
procede a resolverlo utilizando cualquiera de los cuatro métodos descritos anteriormente. El
método lógico-esquemático tiene como objetivo principal que los alumnos sean capaces de
representar el desarrollo de un problema por medios gráficos. Este método consta de cuatro
principales áreas: 1) La principal, en dónde se redacta el problema por resolver y/o se coloca la
formulación del problema del método del entendimiento (P1), 2) Un área sobre la cual se colocan
las leyes primarias o sintéticas y los datos conocidos (P2), 3) Un área en donde se localizan las
reglas de análisis y se realizan los análisis correspondientes (P3) y 4) Un área en donde se
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muestra la estructuración del desarrollo y el resultado final (P4). Los pasos y las interconexiones
entre áreas se realizan por una secuencia de flechas, como se muestra en la Figura 1.
Figura 1
Estructura del método lógico-esquemático (Jiménez et al. 2006)
El método lógico-esquemático busca mostrar la estructura del conocimiento y las relaciones y
conexiones entre los procesos y operaciones que se presentan en el desarrollo de un problema
o ejercicio. Las fórmulas sintéticas son expresiones que se obtienen de formularios, como
identidades o fórmulas generales o bien del desarrollo del problema. Las reglas de análisis sirven
para descomponer un problema y para aplicar los procedimientos analíticos, como derivar,
integrar y despejar, entre otros. Los resultados principales del análisis y el resultado conclusión
final se colocan en la parte tres del esquema mostrado en la Figura 1 (P3).
El método lógico-esquemático al aplicarse en conjunto con el método del entendimiento, le
proporciona al profesor y a los alumnos un esquema en donde los ejercicios pueden
desarrollarse sistemáticamente. A pesar de que puede ser largo y tedioso todo el camino a
recorrer con la aplicación de estos métodos, los beneficios se logran ver cuando los alumnos
arman el problema como si fuera un rompecabezas y logran ver las relaciones del análisis que
desarrollaron en forma gráfica. El método lógico-esquemático privilegia el entendimiento formal
que la solución de muchos problemas.
Instrumento
Para conocer información acerca de la percepción de los alumnos en relación con el método
lógico-esquemático, se diseñó y aplicó un cuestionario el cual se muestra en la Tabla 1
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Tabla 1
Cuestionario para los alumnos (elaboración propia)
PREGUNTAS
RESPUESTAS
1. ¿Conocía con anterioridad el método lógico-esquemático?
SI _____ NO____
2. ¿Resultó práctico el uso del método-lógico-esquemático?
SI _____ NO____
3. ¿Ayuda el método lógico-esquemático a conocer las
relaciones entre las reglas de análisis y las reglas de síntesis?
SI _____ NO____
4. A pesar de que el método lógico-esquemático es repetitivo y
tardado, ¿lo usarías como método de estudio?
SI _____ NO____
5. ¿Considera que el método lógico-esquemático ayuda a
comprender mejor los conceptos y la relaciones entre el
problema y su solución?
SI _____ NO____
6. ¿Considera que el método lógico-esquemático puede usarse
para realizar las tareas?
SI _____ NO____
7. ¿Te resultó complicado aprender a usar el método lógico-
esquemático?
SI _____ NO____
8. ¿Te resultó atractivo el método-lógico-esquemático en
comparación con los métodos de enseñanza comunes?
SI _____ NO____
9. ¿Consideras que el método lógico-esquemático puede usarse
en otras materias que no sean de matemáticas?
SI _____ NO____
10. ¿Recomendarías el método lógico- esquemático a otros
alumnos?
SI _____ NO____
RESULTADOS
del entendimiento y el lógico-esquemático. El problema es de graficación vectorial.
Problema: Graficar la curva plana representada por la función vectorial:
r(t)=2cos(t)i + 2sen (t)j ; 0
t
2
Aplicación del método del entendimiento.
a) Leer cuidadosamente el discurso del problema.
El problema sólo pide graficar una ecuación vectorial, que de acuerdo con su constitución es
una circunferencia.
b) Identificar del discurso del problema los datos por encontrar.
Los datos por encontrar son: 1) La ecuación de la curva plana (circunferencia) y su gráfica
asociada según los límites o el intervalo considerado.
c) Identificar del discurso del problema, los datos conocidos.
Sólo se conocen los límites y que la ecuación vectorial representa una circunferencia siendo
“t” su parámetro.
d) Los datos por encontrar y los datos conocidos pueden ser representados en una figura o
esquema, por ello, se debe interpretar cuidadosamente las figuras propuestas. La Figura 2
muestra un posible esquema de la solución al problema.
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Figura 2
Esquema gráfico de la posible solución del problema
e) Identificar de los datos por encontrar sí: 1) se trata de un número, 2) una función, 3) un vector,
4) una matriz u otro elemento.
Lo que se busca determinar es una ecuación cartesiana que permita graficar su figura
geométrica.
f) Aplicar el paso E) para el caso de los datos conocidos. Los datos conocidos son una
ecuación vectorial y los números externos del límite de la gráfica.
g) Proceder a darle solución al problema, aplicando el siguiente modelo:
“Dadas X encuentre Y ”.
Dado:
r(t)=2cos(t)i+2sen (t)j ; 0
t
Encuentre:
x
2
+ y
2
= r
2
y su gráfica asociada.
h) Documentar en la medida de lo posible, todo lo relacionado con el problema.
De acuerdo con los pasos anteriormente descritos, lo que se busca construir una ecuación
canónica de la circunferencia dada la ecuación vectorial en términos del parámetro “t”, por
lo que hay que utilizar algún método que permita transformar o eliminar el parámetro “t” y
obtener una ecuación canónica.
i) Identificar una vez comprendido el discurso del problema, las fórmulas o leyes principales
con las cuáles se solucionará el problema. Las fórmulas principales del problema son:
r(t) = f(t)i+g(t)j
x
2
+ y
2
= r
2
j) Si es posible, identificar las fórmulas o reglas secundarias.
Las fórmulas secundarias son:
cos (t)
2
+ sen (t)
2
= 1
k) Utilizar el modelo: “Dado X , encuentre Y tal que Z sea satisfecha”. .
Dado:
r(t)=2cos(t)i+2sen (t)j ; 0
t
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Encuentre:
x
2
+ y
2
= r
2
y su gráfica asociada.
Tal que:
r(t) = f(t)i+g(t)j
sea satisfecha y,
cos (t)
2
+ sen (t)
2
= 1
El método lógico-esquemático relacionado con el problema formulado anteriormente se muestra
en la Tabla 2.
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ISSN en línea: 2789-3855, febrero, 2023, Volumen 4, Número 1, p. 1732.
Tabla 2
Desarrollo de un problema y representación de su resolución por el método lógico-esquemático
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA:
Dadas:
encuentre
y su gráfica asociada
tal que:
sean satisfechas y,
Reglas sintéticas
0
t
Desarrollo
Reglas analíticas
P1
P2
P4
P3
f(t)=2cos(t);
g(t)=2sen(t)
x= f(t), y= g(t)
x=2cos(t); y=2sen(t)
Cos (t)=
Sen (t)=
0
t
r(t)=2cos(t)i+2sen (t)j ; 0
t
r(t) = f(t)i+g(t)j
r(t) = f(t)i+g(t)j
r(t)=2cos(t)i+2sen (t)j
r(t)=2cos(t)i+2sen (t)j
x=2cos(t);
y=2sen(t)
r(0)= 2cos(0)i+2sen (0)j= (2,0)
r(/2)= 2cos(/2)i+2sen (/2)j=(0,2)
r(2)= 2cos()i+2sen ()j=(-2,0)
r(t)=2cos(t)i+2sen (t)j
X
Y
r(t)=2cos(t)i+2sen (t)j
(2,0)
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ISSN en línea: 2789-3855, febrero, 2023, Volumen 4, Número 1, p. 1733.
DISCUSIÓN
La resolución del problema usando el método lógico-esquemático presentó una sistematización
(orden) gráfica de la secuenciabilidad de resolver un ejercicio. El ejercicio mostrado en la Tabla
2 fue desarrollado y escrito por un alumno de la materia de Cálculo Vectorial cuyas
características de habilidades fue sintético-analítico, es decir, el alumno no tenía problemas en
resolver los ejercicios de la manera que fuera. El método del entendimiento sirvió para ordenar
el ejercicio, de hecho, la aplicación de este método es prioritaria. A pesar de su importancia, el
método del entendimiento no fue considerado para ser evaluado por los alumnos ni se midió el
tiempo de planteamiento y resolución del ejercicio.
En relación con el estudio de la predominancia de habilidades y siguiendo los pasos propuestos
por Jiménez et al. (2006) se encontró lo siguiente: 1) 50% de los alumnos presentó
predominancia a la síntesis, 2) 45% al análisis y 3) el 5% tenían habilidades equilibradas
(sintetico-analíticas).
Las respuestas del cuestionario del SI en todas las preguntas fueron el mínimo 65% y un máximo
del 100% y el NO tuvo un mínimo de 0% y un máximo 45%. La pregunta 1 tuvo el máximo del 100%
en NO ya que los alumnos desconocían el método lógico-esquemático. La pregunta 4 alcanzó un
60% de SI y un 40% que NO, esto debido a que en opinión de algunos alumnos el método era muy
repetitivo y tardado. La pregunta 10 tuvo un 63% de SI, esto es, que si recomendaría usar el
método a otros alumnos de otras materias.
CONCLUSIÓN
En este artículo se ha presentado un método novedoso para resolver y representar ejercicios de
los libros de textos y de las clases. El método lógico-esquemático es útil para que los estudiantes
puedan darle orden y sistematicidad al proceso de resolución de ejercicios. Esté método puede
ayudar aquellos alumnos a que tengan habilidades con predominancia hacia la síntesis, ya que
el método es lógico-gráfico, pero de igual manera puede auxiliar a los analíticos ya que es un
método que promueve el orden y el desarrollo paso a paso. A pesar de que el método del
entendimiento es riguroso este sirve para conocer con detalle el problema o ejercicio y obliga al
alumno a no partir con desconocimiento hacía la solución del problema. De acuerdo con los
resultados el método lógico-esquemático atrajo la atención de la mayoría de los alumnos, pero
su práctica tuvo problemas como la tardanza y al hecho de problemas muy largos el método se
vuelve problemático y, por lo tanto, se recomienda que éste se aplique a ejercicios sencillos, ya
que lo que se busca es que los alumnos comprendan las relaciones entre las definiciones y el
análisis para resolver ejercicios.
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ISSN en línea: 2789-3855, febrero, 2023, Volumen 4, Número 1, p. 1734.
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