LATAM Revista Latinoamericana de Ciencias Sociales y Humanidades, Asunción, Paraguay.
ISSN en línea: 2789-3855, agosto, 2025, Volumen VI, Número 4 p 1984.
DOI: https://doi.org/10.56712/latam.v6i4.4411
Estrategia basada en GeoGebra para la enseñanza de
funciones polares en Cálculo Vectorial
GeoGebra-Based Strategy for Teaching Polar Functions in Vector Calculus
Ángel García Velázquez
angel.g20@mexicali.tecnm.mx
https://orcid.org/0000-0002-8458-7755
Tecnológico Nacional de México
Mexicali, B. C. – México
María Guadalupe Amado Moreno
lupitaamado@mexicali.tecnm.mx
https://orcid.org/0000-0001-6363-5888
Tecnológico Nacional de México
Mexicali, B. C. – México
Bertha Ivonne Sánchez Luján
bisanchez@cdjimenez.tecnm.mx
https://orcid.org/0000-0002-3595-8281
Tecnológico Nacional de México
Jiménez, Chih. – México
Oscar Enrique Callejas Melgoza
callejas@mexicali.tecnm.mx
https://orcid.org/0000-0002-0178-4906
Tecnológico Nacional de México
Mexicali, B. C. – México
Artículo recibido: 29 de junio de 2025. Aceptado para publicación: 26 de agosto de 2025.
Conflictos de Interés: Ninguno que declarar.
Resumen
Este estudio explora el impacto del uso de GeoGebra como herramienta didáctica en la enseñanza de
funciones polares en un curso de Cálculo Vectorial en el nivel universitario. Participaron 30 estudiantes
de tercer semestre de Ingeniería Química en una institución pública mexicana. La intervención
consistió en el uso de una aplicación interactiva desarrollada en GeoGebra y aplicada en dos fases:
exploración gráfica guiada y análisis conceptual mediante una guía de trabajo. Los resultados
muestran que más del 86 % de los estudiantes lograron representar adecuadamente funciones polares
y comprender sus propiedades fundamentales, como simetrías, intersecciones y comportamiento
gráfico. Estos resultados contrastan con desempeños previos del 60 % cuando se emplean métodos
tradicionales. Se concluye que GeoGebra favorece el aprendizaje significativo, mejora la visualización
matemática y fortalece la participación activa de los estudiantes. Las implicaciones incluyen la
recomendación de incorporar herramientas dinámicas en la enseñanza de temas matemáticos
complejos en ingeniería.
Palabras clave: GeoGebra, funciones polares, visualización matemática, aprendizaje
significativo, ingeniería, cálculo vectorial
LATAM Revista Latinoamericana de Ciencias Sociales y Humanidades, Asunción, Paraguay.
ISSN en línea: 2789-3855, agosto, 2025, Volumen VI, Número 4 p 1985.
Abstract
This study explores the impact of using GeoGebra as a teaching tool for polar functions in a university-
level Vector Calculus course. Thirty third-semester Chemical Engineering students from a public
Mexican institution participated. The intervention involved an interactive application designed in
GeoGebra, implemented in two phases: guided graphical exploration and conceptual analysis through
a structured worksheet. Results show that over 86% of the students successfully represented polar
functions and understood key properties such as symmetries, intersections, and overall behavior.
These findings contrast with previous performance levels of 60% when traditional methods were used.
It is concluded that GeoGebra fosters meaningful learning, enhances mathematical visualization, and
strengthens student engagement. Implications include recommending the integration of dynamic
tools in the teaching of complex mathematical topics in engineering.
Keywords: GeoGebra, polar functions, mathematical visualization, meaningful learning,
engineering, vector calculus
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Cómo citar: García Velázquez, Ángel, Amado Moreno, M. G., Sánchez Luján, B. I., & Callejas Melgoza,
O. E. (2025). Estrategia basada en GeoGebra para la enseñanza de funciones polares en Cálculo
Vectorial. LATAM Revista Latinoamericana de Ciencias Sociales y Humanidades 6 (4), 1984 – 1995.
https://doi.org/10.56712/latam.v6i4.4411
LATAM Revista Latinoamericana de Ciencias Sociales y Humanidades, Asunción, Paraguay.
ISSN en línea: 2789-3855, agosto, 2025, Volumen VI, Número 4 p 1986.
INTRODUCCIÓN
La educación en ingeniería enfrenta desafíos únicos debido a la naturaleza técnica y aplicada de los
contenidos. Los profesores de ingeniería deben adoptar o crear estrategias de enseñanza que no solo
transfieran conocimientos teóricos, sino que también desarrollen habilidades prácticas y de resolución
de problemas en los estudiantes.
La enseñanza de funciones polares en cursos de Cálculo Vectorial presenta desafíos conceptuales y
gráficos, debido a la naturaleza no lineal de su representación y a la abstracción que implica el cambio
de coordenadas cartesianas a polares. Este tema, que suele abordarse en carreras de ingeniería, exige
no sólo comprensión algebraica, sino también visualización espacial, lo cual puede dificultar cuando
se emplean métodos tradicionales basados únicamente en tabulación y graficación punto a punto.
Diversos estudios han resaltado el potencial didáctico de los entornos dinámicos como GeoGebra para
facilitar la comprensión de conceptos matemáticos complejos, particularmente aquellos que requieren
la manipulación de parámetros y observación directa de transformaciones gráficas (Gaona Jiménez, y
Guerrero Ramírez, 2022). En el contexto latinoamericano, experiencias con GeoGebra han demostrado
ser efectivas para favorecer el aprendizaje activo y visual y analizar de manera más detallada
contenidos matemáticos, en menor tiempo, lo que permite alcanzar objetivos claves como la mejora
del rendimiento académico (Cenas Chacón et al., 2021). Un estudio de caso en el Tecnológico Nacional
de México-Matamoros, con estudiantes de Ingeniería Mecatrónica en Cálculo Vectorial (agosto-
diciembre 2021). Reporta un 90 % de aprobación en la unidad de coordenadas polares tras implementar
GeoGebra, fortaleciendo competencias específicas y genéricas (Ortiz Hermosillo, 2022).
Desde el enfoque del aprendizaje significativo (Ausubel, 1983) y del aprendizaje experiencial (Kolb,
1984), el uso de software interactivo permite que los estudiantes construyan nuevas representaciones
mentales a partir de la manipulación de objetos dinámicos, fortaleciendo la transferencia de
conocimientos. Además, se alinean con los principios del constructivismo social, al fomentar la
interacción entre pares para resolver tareas complejas (Vygotsky, 1978).
En esta investigación se presenta una estrategia didáctica con GeoGebra aplicada a estudiantes del
tercer semestre de Ingeniería Química, orientada a la comprensión y bosquejo de funciones polares. El
objetivo fue evaluar su impacto en el desarrollo de habilidades de visualización y análisis gráfico. La
propuesta parte de la premisa, sustentada en la experiencia docente, de que aproximadamente solo un
60 % de los estudiantes logra representar adecuadamente estas funciones mediante métodos
convencionales. En contraste, se busca comprobar si el entorno dinámico mejora significativamente
este porcentaje, especialmente en actividades que requieren identificar simetrías, intersecciones y
comportamiento general de la curva.
METODOLOGÍA
Con el fin de evaluar el impacto de una estrategia didáctica mediada por GeoGebra en la comprensión
de funciones polares, se diseñó una intervención educativa aplicada en un curso universitario de
Cálculo Vectorial. La relevancia de esta sección radica en describir detalladamente las condiciones en
las que se desarrolló la experiencia, los participantes involucrados, los instrumentos aplicados y el
diseño metodológico que permitió valorar el desempeño de los estudiantes. Esta descripción busca
asegurar la rigurosidad, replicabilidad y transparencia del estudio, siguiendo criterios de validez
educativa y coherencia con la práctica pedagógica en contextos de enseñanza de las matemáticas
apoyadas con Geogebra y que incluyan visualización conceptual, motivación y habilidades
metacognitivas (Batiibwe, 2024).
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Participantes
La estrategia fue aplicada a un grupo de 35 estudiantes de tercer semestre del programa de Ingeniería
Química en una institución de educación superior pública en México, durante el semestre agosto–
diciembre de 2024. Se excluyeron del análisis cinco estudiantes debido a inasistencias reiteradas en
las sesiones prácticas, lo que dejó una muestra final de 30 participantes. La mayoría de ellos tenía
entre 19 y 21 años, y cursan por primera vez la asignatura de Cálculo Vectorial.
Procedimiento
La intervención se llevó a cabo en el contexto del tema de funciones polares, particularmente enfocada
en la representación gráfica de curvas como rectas, círculos, cardioides y rosas. La estrategia consistió
en el uso de una aplicación interactiva en GeoGebra titulada “Bosquejo de funciones polares”,
desarrollada específicamente para este propósito.
La secuencia didáctica se organizó en dos fases:
Sección I – Exploración asistida: Los estudiantes interactuaron con la aplicación GeoGebra en una
sesión guiada por el profesor. Manipularon deslizadores que controlaban los parámetros de las
funciones polares y observaron los efectos de estos en tiempo real.
Sección II – Análisis conceptual: Se aplicó una guía titulada “Uso de la aplicación: Bosquejo de
funciones polares – Subtema: cardioides”. Esta guía contenía preguntas abiertas que orientaban al
estudiante a reflexionar sobre el comportamiento gráfico de las funciones, el efecto de los parámetros
a y b, la simetría, las intersecciones y las transformaciones resultantes de modificar las expresiones
trigonométricas.
Los estudiantes respondieron individualmente las siguientes preguntas: descripción de la gráfica
obtenida, interpretación de los parámetros, intersección con ejes, comportamiento con signos
negativos, y comparación entre funciones con seno y coseno. Finalmente, debían bosquejar nuevas
funciones basándose en el conocimiento adquirido.
Diseño del estudio
El estudio adopta un enfoque cuasi-experimental de tipo exploratorio, sin grupo de control ni pretest
formal, pero con referencia a datos comparativos históricos (Hernández Sampieri et al., 2014). Se
centró en analizar el efecto del uso de herramientas digitales en el aprendizaje matemático, integrando
observación directa, participación docente y desempeño en tareas guiadas. Esta estrategia se enmarca
en una lógica de mejora continua de la enseñanza de las matemáticas en ingeniería.
Procedimiento
Una vez que los estudiantes han abordado en el aula el tema de funciones polares y su graficación, es
común que surjan inquietudes relacionadas con el proceso de graficación punto por punto o la
tabulación de estas funciones. Estas dudas se deben principalmente a la complejidad de las
operaciones necesarias para obtener un punto en el plano polar, al comportamiento de los ángulos y a
las diversas formas en que un mismo punto puede representarse en coordenadas polares, entre otros
factores.
La estrategia se basa en una aplicación interactiva desarrollada en GeoGebra, que permite a los
estudiantes explorar y comprender el comportamiento de las gráficas de ecuaciones en coordenadas
polares. Con esta aplicación interactiva los estudiantes pueden descubrir cómo se generan rectas,
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círculos, cardiodes y rosas, facilitando así su capacidad para bosquejar estas gráficas sin necesidad
de tabular puntos.
Parte fundamental de la estrategia lo son también las instrucciones y actividades con las cuales el
profesor guiará a los estudiantes para que descubran los detalles relevantes para el bosquejo de
funciones en coordenadas polares.
Aplicación en GeoGebra
Después de que los estudiantes hayan descargado el software GeoGebra e iniciado la aplicación
titulada “Bosquejo de funciones polares”, se encontrarán con la ventana que se ilustra en Figura 1.
Figura 1
Ventana principal de la aplicación “Bosquejo de funciones polares”
Fuente: Pantalla desde la aplicación de Geogebra.
En el lado izquierdo de la Figura 1 se muestra la vista gráfica en el sistema de coordenadas polares, el
lado derecho muestra cuatro casillas de control que permiten al usuario seleccionar el tipo de gráfica
con la que se desea experimentar.
Al seleccionar el tipo de función, aparece a la derecha de la casilla de control, un recuadro que
proporciona una breve explicación de las funciones canónicas para la función seleccionada, como
puede observarse en Figura 2. Estas funciones estarán en términos de uno, dos o tres parámetros
numéricos (a, b y n) y un parámetro angular (ángulo) cuyo valor se muestra en grados y radianes.
Figura 2
Selección del tipo de función
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Fuente: Pantalla desde la aplicación de Geogebra.
Una vez seleccionada la función se deberá ingresar en la casilla de entrada, tal y como aparece en el
recuadro, la forma canónica de la función como se indica en Figura 3.
Figura 3
Ingreso de la forma canónica de la función en la casilla de entrada
Fuente: Pantalla desde la aplicación de Geogebra.
El valor de los parámetros a, b, n y el ángulo los podrá modificar el usuario utilizando los respectivos
deslizadores que se observan en Figura 3.
Para la obtención de la gráfica se recomienda fijar los valores de los parámetros numéricos (a, b y n) y
mover lentamente el deslizador para el ángulo. De esta forma se observará en la vista gráfica (lado
izquierdo de Figura 3) la construcción de la gráfica.
Al hacer clic en la casilla de control PUNTO EXTREMO y mover el deslizador de ángulo se tiene la gráfica
de la función punto por punto mostrada en Figura 4. Los estudiantes pueden verificar el valor obtenido
para cada pareja ordenada polar que conforman la gráfica en la calculadora.
Figura 4
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Obtención de las parejas ordenadas en coordenadas polares
Fuente: Pantalla desde la aplicación de Geogebra.
A través de una serie de instrucciones y actividades, el profesor puede lograr que los estudiantes, en
un tiempo relativamente corto, descubran una gran variedad de detalles finos que le permitiran
bosquejar la gráfica de una función simplemente a partir de la ecuación en coordenadas polares. Entre
estos detalles se incluyen la forma de la gráfica, los puntos de intersección con los ejes, el efecto de
los parámetros involucrados, la orientación y las simetrías de la gráfica, así como el impacto del signo
negativo en estos parámetros.
Las instrucciones y actividades deben ser descritas por el profesor en función de su estilo de
enseñanza, la nomenclatura utilizada y su experiencia pedagógica.
El cierre de la estrategia se realiza con una guía para los estudiantes, mostrada en Figura 5, en la cual
se presenta una lista de actividades que los estudiantes deben llevar a cabo para el desarrollo y
evaluación del subtema de cardiodes. De manera similar el profesor puede elaborar varias guías para
los estudiantes para la evaluación de los subtemas de rectas, círculos y rosas de varios pétalos.
Figura 5
Guía para estudiantes
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Fuente: elaboración propia.
Esta aplicación interactiva se ha probado con estudiantes sin proporcionarles instrucciones
específicas para su uso. Solo con la exploración individual de la aplicación. Se observó que los
estudiantes pueden desarrollar rápidamente la capacidad de bosquejar funciones en coordenadas
polares de manera eficiente.
DESARROLLO
El presente estudio se sustenta en tres enfoques teóricos que ofrecen un marco interpretativo para
comprender la efectividad de la estrategia didáctica empleada: el aprendizaje significativo (Ausubel,
1983), el aprendizaje experiencial (Kolb, 1984) y el constructivismo social (Vygotsky, 1978).
Desde la perspectiva de Ausubel, el aprendizaje es más efectivo cuando el nuevo conocimiento se
integra de manera no arbitraria a estructuras previas relevantes. En el caso de las funciones polares, el
uso de representaciones dinámicas en GeoGebra proporciona anclajes visuales que facilitan la
comprensión de la relación entre la expresión trigonométrica y su representación gráfica.
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El modelo de aprendizaje experiencial de Kolb complementa esta visión al destacar la importancia del
“hacer” y “reflexionar” en el proceso formativo. En esta estrategia, los estudiantes manipulan los
parámetros de la función, observan el efecto en la gráfica y luego explican lo observado, lo que
responde a las fases del ciclo de aprendizaje: experiencia concreta, observación reflexiva,
conceptualización abstracta y experimentación activa.
Por su parte, el constructivismo social propuesto por Vygotsky aporta la noción de zona de desarrollo
próximo, en la cual el aprendizaje ocurre mediante la interacción con otros. En esta intervención, los
estudiantes colaboraron para resolver dificultades técnicas o conceptuales, y el docente actuó como
mediador para guiar el proceso cognitivo, lo cual es especialmente relevante cuando se introducen
herramientas tecnológicas nuevas.
Conceptos clave
Funciones polares: Son funciones matemáticas en las que cada punto del plano se determina mediante
una distancia al origen (radio) y un ángulo respecto al eje polar. Representan una generalización
importante de las coordenadas cartesianas y suelen ser complejas de graficar mediante métodos
manuales. Su estudio involucra el análisis de simetría, intersecciones, periodicidad y comportamiento
en diferentes cuadrantes.
GeoGebra: Es un software de matemáticas dinámicas que combina geometría, álgebra, cálculo y
estadística en un entorno visual e interactivo. En educación matemática, GeoGebra ha demostrado ser
eficaz en la representación de objetos abstractos, facilitando su comprensión, análisis y manipulación
(Morales Chicana, 2023). En el caso específico de funciones polares, permite explorar visualmente la
variación de las curvas al modificar parámetros en tiempo real.
Visualización matemática: Hace referencia a la capacidad del estudiante para interpretar, analizar y
construir significados a partir de representaciones gráficas. La visualización es un componente
esencial en el aprendizaje del cálculo y de las funciones no lineales, y se ve notablemente potenciada
con el uso de entornos gráficos interactivos.
RESULTADOS
La estrategia didáctica implementada con GeoGebra permitió observar mejoras notables en la
comprensión y representación de funciones polares por parte de los estudiantes. En la primera sección
de la intervención, centrada en la manipulación de curvas mediante la aplicación digital, 27 de los 30
estudiantes pudieron completar las tareas de forma autónoma, mientras que 3 estudiantes necesitaron
apoyo del profesor o sus compañeros. Todos lograron finalizar las actividades propuestas, lo cual
evidencia una alta accesibilidad de la herramienta incluso entre quienes enfrentaron dificultades
iniciales.
En la segunda sección, los estudiantes respondieron de forma individual una guía con preguntas
abiertas relacionadas con el análisis de una función cardioide, incluyendo descripción de la gráfica,
simetría, comportamiento con distintos signos y bosquejo de funciones similares. Los resultados
mostraron un desempeño alto y consistente: entre 26 y 28 estudiantes respondieron correctamente
cada una de las preguntas clave. Esto representa una tasa de acierto superior al 86 % en todos los
ítems evaluados.
Para valorar el impacto de la estrategia, se compararon estos resultados con los desempeños
históricos registrados por los profesores en semestres anteriores, donde los estudiantes abordaban
este tema con métodos tradicionales de tabulación manual. En aquellos casos, el porcentaje estimado
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de estudiantes que lograba representar correctamente las curvas era del 60 %. La comparación entre
ambas condiciones se presenta en la siguiente tabla:
Tabla 1
Comparación entre estrategias
Actividad/Pregunta Con
GeoGebr
a
Sin GeoGebra
(histórico
estimado)
Diferencia
5. Describe la gráfica obtenida 27 18 9
6. ¿Qué representa en la gráfica el valor del
parámetro a?
28 18 10
7. Encuentra una relación de los puntos en los que
la gráfica corta al eje vertical, con los valores de los
parámetros a y b. Explica (si deseas modificar los
valores de los parámetros).
26 18 8
8. Explica lo que sucede si a < 0 (negativo). 28 18 10
9. Explica lo que sucede si b < 0 (negativo). 28 18 10
10. ¿Qué sucede si se cambia la función sen(θ) por
cos(θ)?
27 18 11
11. Salga de la aplicación y con lo aprendido
bosqueje la gráfica de las siguientes funciones
polares
28 18 13
Fuente: elaboración propia.
Estos datos sugieren una mejora sustancial en la capacidad de análisis y representación de funciones
polares cuando se integra GeoGebra como herramienta didáctica. La diferencia promedio entre ambos
enfoques fue de 9.3 estudiantes más por pregunta con respuestas correctas, lo cual respalda la
efectividad de la estrategia no solo en términos de desempeño individual, sino también en la
comprensión del tema.
DISCUSIÓN
Los resultados obtenidos muestran que la implementación de GeoGebra como herramienta de apoyo
en la enseñanza de funciones polares tuvo un efecto positivo en la comprensión gráfica y conceptual
de este tema entre estudiantes de ingeniería. En particular, se observó una mejora significativa en la
identificación de propiedades como simetría, intersecciones con los ejes y comportamiento de la
función, lo cual representa un avance respecto a lo documentado en semestres anteriores mediante
métodos tradicionales.
Estos hallazgos son consistentes con estudios previos realizados en contextos latinoamericanos que
han demostrado la utilidad de GeoGebra en la enseñanza de matemáticas avanzadas, especialmente
en visualización de funciones complejas (Chisag Pallmary et al., 2025). En el caso específico de
funciones polares, el uso de representaciones dinámicas facilita la construcción de significado al
permitir que el estudiante observe en tiempo real cómo los cambios en los parámetros afectan la forma
y orientación de la gráfica.
Desde la perspectiva del aprendizaje significativo (Ausubel, 1983), la visualización interactiva ofrece
anclajes cognitivos que permiten a los estudiantes conectar los nuevos conceptos con sus estructuras
previas. Esto es particularmente relevante en el caso de funciones polares, donde el cambio de sistema
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de coordenadas genera inicialmente una barrera conceptual. Al interactuar con los elementos gráficos,
el estudiante no solo adquiere conocimiento declarativo, sino que lo transforma en conocimiento
procedimental, como lo sugiere Kolb (1984) en su teoría del aprendizaje experiencial.
Además, la mejora en el rendimiento observada en los estudiantes que utilizaron GeoGebra puede
interpretarse también desde el enfoque del constructivismo social (Vygotsky, 1978), ya que la
interacción entre pares y la mediación del docente jugaron un papel clave en la resolución de las tareas.
El hecho de que los tres estudiantes con dificultades iniciales pudieran completar exitosamente la
actividad mediante apoyo colaborativo resalta el valor de este tipo de entornos como espacios de
aprendizaje compartido.
Por otra parte, la comparación con resultados históricos confirma que el enfoque tradicional, basado
en la tabulación punto por punto, no logra los mismos niveles de comprensión. La repetición mecánica
de cálculos sin una visualización clara suele derivar en errores y frustración, especialmente en
estudiantes que no dominan aún la interpretación trigonométrica de las funciones. En cambio, la
estrategia propuesta permitió abordar el contenido desde una lógica inductiva, donde la exploración
precede a la formalización.
La evidencia empírica respalda el potencial del uso de GeoGebra para transformar la enseñanza de
temas complejos en el ámbito universitario, tanto por el aumento del rendimiento observado como por
la mejora en la actitud y motivación de los estudiantes. No obstante, es importante reconocer que estos
resultados se obtuvieron en un solo grupo y bajo condiciones particulares, por lo que futuras
investigaciones podrían extender el análisis a más contextos, comparar distintos tipos de funciones y
explorar el impacto a largo plazo.
CONCLUSIÓN
Los resultados de esta experiencia muestran que el uso de GeoGebra como recurso didáctico
contribuye significativamente a mejorar la comprensión de funciones polares en estudiantes de
ingeniería. A través de una estrategia de exploración dinámica guiada, los estudiantes lograron
identificar y representar propiedades clave de las curvas polares con mayor precisión y confianza que
mediante los métodos tradicionales basados en tabulación manual.
La propuesta facilitó la visualización de conceptos abstractos, y además promovió el aprendizaje
colaborativo y autónomo, elementos necesarios en la formación matemática en educación superior.
La diferencia en el desempeño respecto a experiencias previas sin el uso de tecnología evidencia que
las herramientas digitales, bien integradas al proceso pedagógico, actúan como mediadoras del
conocimiento.
Como línea futura de investigación, se sugiere aplicar esta estrategia en otros grupos o instituciones,
explorar su efecto en diferentes tipos de funciones (rosas, lemniscatas, espirales), y complementar el
análisis con instrumentos cualitativos que permitan profundizar en la percepción del estudiante sobre
su aprendizaje.
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